Chuyên đề luyện thi Đại học Tích phân

1

CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN CÔNG THỨC

Bảng nguyên hàm Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp thƣờng gặp

Nguyên hàm của những hàm số

thƣờng gặp

Nguyên hàm của những

hàm số hợp

C x dx   

 1 1

1

   

   

  C x dx x

  0 ln     x C x x dx

C e dx e x x   

 1 0 ln      a C a a dx a

x x

C x xdx    sin cos

C x xdx     cos sin

C x dx x

   tan cos

1

2

C x dx x

    cot sin

1

2

    C b ax a b ax d     

1

     1 1 1 1

     

   

  C b ax a dx b ax

  0 ln 1       x C b ax a b ax

dx

C e a dx e b ax b ax     

1

    C b ax a dx b ax      sin 1 cos

    C b ax a dx b ax       cos 1 sin

    C b ax a dx b ax

     tan 1 cos

1

2

    C b ax a dx b ax

      cot 1 sin

1

2

C u du   

 1 1

1

   

   

  C u du u

  0 ln     u C u u du

C e du e u u   

 1 0 ln      a C a a dx a

u u

C u udu    sin cos

C u udu     cos sin

C u du u

   tan cos

1

2

C u du u

    cot sin

1

2

I. ĐỔI BIẾN SỐ

TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

1. Đổi biến số dạng 2

Để tính tích phân

b

/

a

f[u(x)]u (x)dx ta thực hiện các bước sau:

Bƣớc 1. Đặt t = u(x) và tính / dt u (x)dx. Bƣớc 2. Đổi cận: x a t u(a) , x b t u(b) .

Bƣớc 3.

b

/

a

f[u(x)]u (x)dx f(t)dt.

Ví dụ 7. Tính tích phân

2e

e

dx I x ln x .

Giải

Đặt dx t ln x dt x 2 x e t 1, x e t 2

2

2 1 1

dt I ln t ln2 t .

Vậy I ln2 .

ThuVienDeThi.com

2

Ví dụ 8. Tính tích phân

4

3 0

cos x I dx (sin x cos x) .

Hƣớng dẫn:

4 4

3 3 2 0 0

cos x 1 dx I dx . (sin x cos x) (tan x 1) cos x

. Đặt t tan x 1

ĐS: 3 I 8 .

Ví dụ 9. Tính tích phân

3

1 2

dx I (1 x) 2x 3 .

Hƣớng dẫn: Đặt t 2x 3

ĐS: 3 I ln 2 .

Ví dụ 10. Tính tích phân

1

0

3 x I dx 1 x .

Hƣớng dẫn:

Đặt

3 2

2 2 1

3 x t dt t 8 1 x (t 1)

; đặt t tanu

ĐS: I 3 2 3 .

Chú ý:

Phân tích

1

0

3 x I dx 1 x , rồi đặt t 1 x sẽ tính nhanh hơn.

2. Đổi biến số dạng 1

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính ( )

b

a

f x dx  ta thực hiện các bước sau:

Bƣớc 1. Đặt x = u(t) và tính / ( ) dx u t dt  . Bƣớc 2. Đổi cận: , x a t x b t         .

Bƣớc 3. / ( ) [ ( )] ( ) ( )

b

a

f x dx f u t u t dt g t dt

 

       .

Ví dụ 1. Tính tích phân

1 2

2 0

1 I dx 1 x

.

Giải

Đặt x sin t, t ; dx cos tdt 2 2

1 x 0 t 0, x t 2 6

ThuVienDeThi.com

3

6 6

2 0 0

cos t cos t I dt dt cos t 1 sin t

6

6 0

0

dt t 0 6 6 .

Vậy I 6 .

Ví dụ 2. Tính tích phân

2

2

0 I 4 x dx .

Hƣớng dẫn: Đặt x 2sin t ĐS: I .

Ví dụ 3. Tính tích phân

1

2 0

dx I 1 x .

Giải

Đặt 2 x tan t, t ; dx (tan x 1)dt 2 2

x 0 t 0, x 1 t 4

4 4 2

2 0 0

tan t 1 I dt dt

4 1 tan t

.

Vậy I 4 .

Ví dụ 4. Tính tích phân

3 1

2 0

dx I x 2x 2 .

Hƣớng dẫn:

3 1 3 1

2 2 0 0

dx dx I x 2x 2 1 (x 1) .

Đặt x 1 tan t

ĐS: I 12 .

Ví dụ 5. Tính tích phân

2

2 0

dx I

4 x

.

ĐS: I 2 .

Ví dụ 6. Tính tích phân

3 1

2 0

dx I x 2x 2 .

ĐS: I 12 .

3. Các dạng đặc biệt 3.1. Dạng lƣợng giác

Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân

2

2 3

0 I cos x sin xdx .

Hƣớng dẫn:

ThuVienDeThi.com