Phương trình Pell và một số áp dụng

Phương trình Pell và một sốáp dụng

Trần Văn Trung Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Ninh Thuận

Phương trình Pell được trình bày trong nhiều tài liệu khác nhau . Bài viết này tôi kết hợp lại và giới thiệu hết sức cô đọng phù hợp thời lượng học và trình độcủa các học sinh chuyên toán và hướng dẫn áp dụng qua các bài giãi của một sốđềthi học sinh giõi có ứng dụng phương trình Pell.Các định lý chỉgiới thiệu, chứng minh xem ởcác tài liệu [2], [3].

1 Phương trình Pell loại I

Phương trình Pell loại I là phương trình Diophante có dạng

x2 −dy2 = 1 (I)

trong đó d là sốnguyên dương.

Định lý 1. 1) Nếu d là sốchính phương thì (I) không có nghiệm nguyên dương. 2) Nếu d là sốnguyên âm, thì (I) không có nghiệm nguyên dương. 3) Phương trình Pell loại I có nghiệm nguyên dương khi và chỉkhi d là sốnguyên dương và không phải là sốchính phương.

Định lý 2. Giảsử(a, b) là nghiệm nhỏnhất cùa phương trình x2 −dy2 = 1 nghĩa là b là sốnguyên bé nhất để1 + db2 là sốchính phương. Xét dãy (xn) và (yn) cho bởi hệthức truy hồi sau: ( x0 = 1; x1 = a; xn+2 = 2axn+1 −xn, n = 0, 1, ... (1) y0 = 0; y1 = b; yn+2 = 2ayn+1 −yn,, n = 0, 1, ... (2) .

Khi đó (xn, yn) là tất cảcác nghiệm của phương trình Pell x2 −dy2 = 1.

Định lý 3. Cho phương trình Pell x2 −dy2 = 1. Gọi r là chu kỳcủa biểu diễn liên phân sốcủa √

d,pk

qk là giản phân thứk của √

d. • Nếu r chẵn thì tất cảcác nghiệm của phương trình Pell là

x = pkr−1, y = qkr−1

• Nếu r lẻthì tất cảcác nghiệm của phương trình Pell là

x = p2tr−1, y = q2tr−1, t ∈N∗

123

ThuVienDeThi.com

Lưu ý: Nếu r là sốchẵn thì (pr−1,qr−1)là nghiệm nhỏnhất. Nếu r là sốlẻthì (p2r−1,q2r−1) là nghiệm nhỏnhất. Thường khi thực hành ta sửdụng định 1.3 đểtìm nghiệm nhỏnhất và dùng định lý 1.2 đểviết công thức truy hồi nghiệm.

Ví dụ4. Giải phương trinh nghiệm nguyên:

x2 −7y2 = 1

Lời giải. Ta có √

7 = 2; 1, 1, 1, 4 . Chu kỳr = 4 là sốchẵn. Vậy ta có nghiệm nhỏ nhất là (8; 3). Vậy tất cảcác nghiệm nguyên dương của (1) được xác định theo công thức: ( x0 = 1; x1 = 8; xn+2 = 16xn+1 −xn y0 = 0; y1 = 3; yn+2 = 16yn+1 −yn

2 Phương trình Pell loại II

Phương trình Pell loại II có dạng:

x2 −dy2 = −1 (II)

ởđây d là sốnguyên dương. Cũng giống như khi xét phương trình Pell loại I, ởđây ta chỉquan tâm đến việc tìm nghiệm nguyên dương của phương trình này.

Định lý 4. Phương trình Pell loại II không có nghiệm nguyên dương khi d = m2, m ∈Z (tức khi d là sốchính phương).

Định lý 5. Phương trình Pell loại II không có nghiệm khi d có ước nguyên tốp = 4k +3.

Định lý 6. Nếu d là sốnguyên tố, thì phương trình Pell loại II

x2 −dy2 = −1 (II)

có nghiệm nguyên dương khi và chỉkhi d không có dạng 4k + 3.

Định lý 7. (Điều kiện đểphương trình Pell loại II có nghiệm). Gọi (a, b) là nghiệm nhỏnhất của phương trình Pell liên kết với phương trình Pell loại II. Khi đó phương trình Pell loại II

x2 −dy2 = −1 (II)

có nghiệm khi và chỉkhi hệsau : ( a = x2 + dy2 (2) b = 2xy (3)

có nghiệm nguyên dương.

124

ThuVienDeThi.com

Định lý 8. (Công thức nghiêm của phương trinh Pell loạIii). Xét phương trình Pell loại II:

x2 −dy2 = −1 (1)

Cùng với nó ,xét phương trình Pell loại I liên kết với nó:

x2 −dy2 = 1 (2)

Giảsử(a, b) nghiệm nguyên bé nhất của (2). Xét hệphương trình: ( x2 + dy2 = a, (3) 2xy = b. (4)

Giảthiết rằng hệ(3) −(4) có nghiệm và (u, v) là nghiệm duy nhất của nó. Xét hai dãy sốnguyên dương {xn} , {yn} sau đây: ( x0 = u; x1 = u3 + 3duv2; xn+2 = 2axn+1 −xn, n = 0, 1, 2, ... y0 = v; y1 = dv3 + 3u2v; yn+2 = 2ayn+1 −yn, n = 0, 1, 2, ...

Khi đó (xn, yn) là tất cảcác nghiệm nguyên dương của phương trình Pell loại II.

Sau đây ta đưa ra một định lý sửdụng lý thuyết liên phân sốđểgiải phương trình pell loại II:

Định lý 9. Phương trình x2 −dy2 = −1 có nghiệm khi và chỉkhi chu kỳr của biểu diễn liên phân sốcủa √

d là sốlẻ. Trong trường hợp ấy các nghiệm của nó là x = p(2tr−r−1), y = q(2tr−r−1) với t = 1, 2, 3...

Ví dụ7. Xét phương trình x2 −34y2 = −1. Ta có √

34 = [5; 1, 4, 1, 10]. Chu kỳn = 4 là sô chẵn. Vậy phương trình vô nghiệm.

Ví dụ8. Giải …