Ưng dung phương pháp lượng giác hóa

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA

I/ Các dấu hiệu

Ta có các dấu hiệu: Nếu có điều kiện của biến là , ta có thể đặt: 1/ x x a  ( 0) a 

, với hoặc , với . sin x a t  , 2 2 t        

cos x a t    0, t  

Trong trường hợp riêng:

 Nếu , ta có thể đặt: 0 x a  

, với hoặc , với . sin x a t  0, 2 t       

cos x a t  0, 2 t         Nếu , ta có thể đặt : 0 a x  

, với hoặc , với . sin x a t  ,0 2 t        

cos x a t  , 2 t        Nếu có điều kiện của biến là , ta có thể đặt: 2 / x x a  ( 0) a 

, với hoặc , với . sin

a x t   , \ 0 2 2 t         cos

a x t    0, \ 2 t         

Nếu biến , ta có thể đặt: 3/ xA

, với hoặc , với . tan x t  , 2 2 t        

cot x t    0, t  

Trong trường hợp riêng:

 Nếu , ta có thể đặt: 0 x 

, với hoặc , với . tan x t  0, 2 t       

cot x t  0, 2 t         Nếu , ta có thể đặt : 0 x 

, với hoặc ,với . tan x t  ,0 2 t        

cot x t  , 2 t        Nếu hai biến thỏa mãn điều kiện , với , ta đặt : 4 / ,x y 2 2 2 2 2 a x b y c   , , 0 a b c

sin

cos

ax t c by t c

     



sin

cos

c t x a c t y b

      Trong trường hợp này nếu cần sử dụng tới dấu của và ta có thể hạn chế góc , ví dụ nếu có x y t , 0 x y 

thì . 0 2 t  

II/ Các biểu thức thường được lượng giác hóa

Biểu thức Cách lượng giác hóa biểu thức

2 2 a x  với hoặc sin x a t  , 2 2 t        

ThuVienDeThi.com

với cos x a t  0, 2 t       

2 2 x a 

với hoặc sin

a x t   , \ 0 2 2 t        

với cos

a x t    0, \ 2 t   

2 2 a x 

với hoặc tan x a t  , 2 2 t         với cot x a t    0, t  

hoặc a x a x  

a x a x  

cos2 x a t 

   x a b x    

2 sin x a b a t   

1

a b ab  

, với tan

tan

a

b





   

, , 2 2         

III/ Các ví dụ 1. Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình 1.1 Bài toán 1: Giải hệ phương trình:

      

2

2

1 1

1 2 2

1 2 3

xy

z y y

x z z

         

Lời giải

Hệ tương đương với. 2

2

1 2 1

2 1

xy

y z y z x z

           Nếu vô lí; vô lí. 1 y  1 z  Đặt ; ; . Ta có tan x a  tan y b  tan z c 

; ;  tan cot 4 a b   tan cot 2 5 c b   tan cot 2 6 a c 

Khi đó: 2 ; 2 c b k a c l       4 2 a b k l       Thay vào (4): tan(4 2 ) cot b k l b     

5 2 10 5 m b m b          

Ta có các trường hợp sau:

ThuVienDeThi.com

 

3 10 10 7 9 10 10 5 10

b n b n

b n b n

b n loai

   

   

 

   

   

 

Nếu 4 2 tan ; tan ; tan 10 10 10 10 b n x y z           

Nếu 3 2 3 6 tan ; tan ; tan 10 10 10 10 b n x y z           

Nếu 7 8 7 4 tan ; tan ; tan 10 10 10 10 b n x y z           

Nếu 9 6 9 8 tan ; tan ; tan 10 10 10 10 b n x y z           

1.2 Bài toán 2: Cho hệ phương trình

2 2

2 2

4 9 z 6

x y z v xv y

           Tìm nghiệm của hệ để max z x Lời giải Đặt ; ; ; . Khi đó: 2cos x a  2sin y a  3cos z b  3sin v b    , 0;2 a b     z 6 6 cos .sin sin .cos 6 xv y a b a b          6sin 6 sin 1 a b a b      

Mà   sin 1 a b     sin 1 a b   

vì 



1 2 5 2 2

a b

a b





    

  

  , 0;2 a b  

Khi đó:     z 6cos .cos 3 cos cos x a b a b a b            3cos a b  

  max cos 1 a b a b     

Kết hợp với (1) nghiệm là: 4 a b     

3 2 2; 2 x y z v    

Kết hợp với (2) nghiệm là: 5

4 a b     

3 2 2; 2 x y z v    

1.3 Bài toán 3: Giải phương trình:

2 2 cos 3 sin 2 sin5 sin cos5 x x x x x   

ThuVienDeThi.com