Xem trước nội dung
1
1. Hình chóp tam giác Bài 1. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối A năm 2002). Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có độ dài cạnh
AB a = . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC. Tính theo a diện tích của tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC). Gợi ý: Gọi O là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác ABC, ta có
3 3 , , . 2 2 6 a a a OA OB OC OG = = = =
Đặt 0. SG z = > Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia Ox chứa A, tia Oy chứa B và tia Oz nằm trên đường thẳng qua O và song song với SG (xem hình vẽ). Khi đó
3 3 ;0;0 , 0; ;0 , 0; ;0 , ;0; . 2 2 2 6 a a a a A B C S z −
3 3 ; ; , ; ; . 12 4 2 12 4 2 a a z a a z M N −
Tính được 15 . 6 a z = Suy ra
2 10 . 16 AMN a S =
x
y
z
G O
S
A
B
C
Bài 2. (Trích đề dự bị 1 – ĐH Khối B năm 2007). Trong nửa mặt phẳng (P) cho đường tròn đường kính AB và điểm C trên nửa đường tròn đó sao cho AC R = . Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 60o . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh rằng tam giác AHK vuông và tính thể tích khối chóp . . S ABC Gợi ý: Ta có , 3. AC R BC R = = Đặt 0. SA z = > Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho , O C ≡ tia Ox chứa A, tia Oy chứa B và tia Oz nằm trên đường thẳng qua O và song song với SA (xem hình vẽ). Khi đó:
( ) ( ) ( ) ( ) 0;0;0 , ;0;0 , 0; 3;0 , ;0; . C A R B R S R z Khi đó tính
được 8 3 4 2 ; ; 9 9 9 R R R H
và 2 2 2 ;0; . 3 3 R R K
Thể tích khối chóp .S ABC là:
3
.
6 . 12 S ABC R V =
2R x y
z
A
S
B
C
K
H
Bài 3. (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối D năm 2003). Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng ∆. Trên ∆ lấy hai điểm A,B với AB a = . Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với ∆ và . AC BD AB a = = = Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a. Gợi ý: + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, lúc đó
( ) ;0;0 , (0;0;0), ( ; ;0), (0;0; ). A a B C a a D a + Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm
( ) / 2; / 2; / 2 I a a a và bán kính 3 / 2. = R a + Mặt phẳng (BCD) có phương trình 0. x y − = + Khoảng cách từ A đến (BCD) là
( ) 2 ,( ) . 2 a d A BCD =
P
Q
a
a
a
y
z
x
A
B
D
C
www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa
www.DeThiThuDaiHoc.com
ThuVienDeThi.com
2
Bài 4. (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối D năm 2006). Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, 2 SA a = và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM. Gợi ý: + Gọi O là trung điểm BC. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, lúc đó 3 3 ;0;0 , 0; ;0 , 0; ;0 , ;0;2 . 2 2 2 2 a a a a A B C S a −
+ Tìm được tọa độ các điểm M, N là 3 2 2 ; ; 10 5 5 a a a M
và
3 2 2 ; ; . 10 5 5 a a a N −
+ Thể tích khối chóp A.BCNM là
3
.
3 3 . 50 A BCNM a V =
a
2a
z
x
y
N
O
S
C
B
A
M
Bài 5. (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối A năm 2011). Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, 2 AB BC a = = , hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60o . Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a. Gợi ý: +Đặt 0. SA z = > Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ, lúc đó: ( ) ( ) ( ) 2 ;0;0 , 0;0;0 , 0;2 ;0 , A a B C a ( ) ;0;0 , (2 ;0; ). M a S a z
+ Tìm được điểm ( ) ; ;0 . N a a
+ Vectơ pháp tuyến của (SBC) là ( ) ;0;2 . SBC n z a = −
+Vectơ pháp tuyến của (ABC) là ( ) 0;0;1 . ABC n =
+ Từ giả thiết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60o tìm được ( ) 2 3 2 ;0;2 3 . z a S a a = ⇒
+ Suy ra 3 3 SBCNM V a = và 2 39 ( , ) . 13 a d AB SN =
z
y x …
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
