Bài tập Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Bài 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

1

BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

A. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Bài toán chung: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của hàm số  f x

Bước 1: Dự đoán và chứng minh   ; f x c f x c  

Bước 2: Chỉ ra 1 điều kiện đủ để  f x c 

2. Các phương pháp thường sử dụng

Phương pháp 1: Biến đổi thành tổng các bình phương

Phương pháp 2: Tam thức bậc hai.

Phương pháp 3: Sử dụng bất đẳng thức cổ điển: Côsi; Bunhiacôpski

Phương pháp 4: Sử dụng đạo hàm.

Phương pháp 5: Sử dụng đổi biến lượng giác.

Phương pháp 6: Sử dụng phương pháp véctơ và hệ tọa độ

Phương pháp 7: Sử dụng phương pháp hình học và hệ tọa độ.

II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA:

Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P(x, y) = x2 + 11y2  6xy + 8x  28y + 21

Giải. Biến đổi biểu thức dưới dạng P(x, y) = (x  3y + 4)2 + 2(y  1)2 + 3  3

Từ đó suy ra MinP(x, y) = 3  1 0 1 3 4 0 1 y y x y x             

Bài 2. Cho x, y > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của: S =

4 2 4 2

4 4 2 2 y y y x x x y x y x y x     

Giải.

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 1 1 2 y y y x x x S y x y x y x

                    

S

2 2 2 2 2

2 2 1 1 2 2 y y y x x x

y x y x y x

                                 

S .

2 2 2 2 2 2

2 2

( ) 1 1 2 2 y y x y x x

y x xy y x

                           

Với x = y > 0 thì MinS = 2

ThuVienDeThi.com

Chương I. Hàm số – Trần Phương

2

Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 2 2 2 sin sin sin ( ) S x y x y    

Giải . = 2 2 2 sin sin sin ( ) S x y x y     2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos ( ) 2 2

y x x y     

S 2 2 9 1 2 cos( )cos( ) cos ( ) cos( )cos( ) cos ( ) 4 4 x y x y x y x y x y x y                   

S .

2

2 9 9 1 1 cos( ) cos( ) sin ( ) 4 2 4 4 x y x y x y              

Với , (k) thì 3 x y k     9 Max 4 S 

Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2 2 1 2 3 8 1 2 2 3 6 7 7 8 8 ... ( ... ) S x x x x x x x x x x x x x           

Giải.

2 2 2 2

1 2 2 3 3 4 4 5 1 3 2 4 3 5 4 2 4 3 6 4 8 5 S x x x x x x x x                                 

2 2 2 2

5 6 6 7 7 8 8 6 5 7 6 8 7 9 8 4 4 10 6 12 7 14 8 16 9 9 9 x x x x x x x                                  

Với , thì 1 2 2 3 6 7 7 8 8 1 2 6 7 8 ; ;...; ; ; 2 3 7 8 9 x x x x x x x x x      4 Min

9 S 

Bài 5. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: , , x y z¡

S = 19x2+ 54y2 +16z2 16xz  24y +36xy

Giải. Biến đổi S  f(x) = 19x2  2(8z 18y)x + 54y2 +16z2  24y

Ta có x = g(y) = (8z 18y)2  (54y2 +16z2  24y) = 702y2 +168zy  240z2

 y = (84z)2  702.240z2 = 161424z2  0 zR  g(y)  0 y, zR

Suy ra x  0 y, zR  f(x)  0. Với thì 0 x y z    0 MinS 

Bài 6. Cho x2 + xy + y2 = 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

S = x2  xy + y2

Giải Xét y = 0  x2 = 3  S = 3 là 1 giá trị của hàm số.

Xét y  0, khi đó biến đổi biểu thức dưới dạng sau đây

với  

2 2 2 2

2 2 2 2 / ( / ) 1 1 3 ( / ) ( / ) 1 1

x y x y x xy y S t t u u x xy y x y x y t t

              

x t y 

ThuVienDeThi.com