Đề thi thử Đại học lần VInăm 2013 môn Toán Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội

Page 1

2x +1

x 1 

Đề thi thử Đại học lần VI năm 2013 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội

Câu 1. (2 điểm)

Cho hàm số y = 2x +1

x 1 

2 2 2 2 1 tan x cotx sin(x + ) cos(x + 2 3 6 (1 tan x) (1 cot x)             

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Tìm k để đường thẳng y = kx + 1 cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B. Chứng minh trung điểm I của đoạn AB thuộc một đường cong cố định khi k thay đổi. Câu 2. (1 điểm)

Giải phương trình:

2 2 2 2 1 tan x cotx sin(x + ) cos(x + 2 3 6 (1 tan x) (1 cot x)             

  

3 2

3 2 x -xy +156y=0

y -yx -39x=0

Câu 3. (1 điểm)

Giải hệ phương trình:   

3 2

3 2 x -xy +156y=0

y -yx -39x=0

2 2

2 4

sin 2x 2x cos xdx sin x





 

Câu 4. (1 điểm)

Tính tích phân I =

2 2

2 4

sin 2x 2x cos x dx sin x





 

o 60

Câu 5. (1 điểm)

Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC và mặt đáy ABC là các tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA tạo với đáy (ABC) một góc o 60 . Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp. Câu 6. (1 điểm)

ab 1 bc 1 cd 1 da 1     Các số a, b, c, d thuộc đoạn [0; 2]. Chứng minh bất đẳng thức:

a + b + c + d ≤ ab 1 bc 1 cd 1 da 1    

z z 1 i  

Câu 7. (1 điểm)

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + 2y – 15 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d: 3x – 4y + 22 = 0 sao cho từ điểm M kẻ được tới (C) hai tiếp tuyến ME, MF (E, F là các tiếp điểm) mà đường thẳng EF đi qua điểm N (0; 1). Câu 8. (1 điểm).

Trong không gian Oxy hãy lập phương trình mặt cầu (S) đi qua điểm M (1; 6; 0) và chứa đường tròn (C) là giao của mặt phẳng (P): 2x – y + z + 6 = 0 với mặt cầu (E): x2 + y2 + z2 – 10x – 8y = 0 Câu 9. (1 điểm)

Tìm số phức z thỏa mãn z z 1 i   z 2i z 2 

 và z 2i

z 2



 là số thực

BỘ ĐỀ VTEST SỐ 11

ThuVienDeThi.com

Page 2



Đề thi thử Đại học lần VI năm 2013 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội

Câu 1. (2 điểm) 1. (1 điểm): Học sinh tự giải 2. (1 điểm).

Đường thẳng ∆: y = kx + 1 cắt (C) tại 2 điểm phân biệt phương trình sau có 2 nghiệm

2 2x 1 kx 1 pt kx (k 1)x 2 0 x 1

      

phân biệt:

2 2x 1 kx 1 pt kx (k 1)x 2 0 x 1

      

2 k 0;k k 1 2 0 k 5 2 6 (k 1) 8k 0 k 6 2 6

               

(*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1

2 k 0;k k 1 2 0 k 5 2 6 (k 1) 8k 0 k 6 2 6

               

 và k 

k 1 k

 

0 (0,5 điểm)

Gọi A (xA, yA), B (xB; yB), I (xI; yI) trong đó xA, xB là nghiệm của (*) và y1 = kx1 + 1

Theo định lí Viet, ta có xA + xB = k 1 k  k 1 k





2xI = k 1

k



 I

1 x 2   (2xI − 1)k = 1 I

1 x 2 

I

1 2x 1  và k =

I

1 2x 1 

I I I

I I

x 3x 1 y 1 2x 1 2x 1      Khi đó I I I

I I

x 3x 1 y 1 2x 1 2x 1     .

3x 1 2x 1   Suy ra điểm I thuộc đồ thị của hàm số y = 3x 1

2x 1

 cố định. (0,5 điểm)

1 sin( x) sin( x) 2 3 3           

Câu 2. (1 điểm)

Điều kiện: sin2x ≠ 0

Pt 1 sin( x) sin( x) 2 3 3           

2 3 3 sin .cosx cos x.sin x sin x.cosx sin x 3 2      

= cos4x.tanx + sin4x.cotx (0,5 điểm)

2 3 3 sin .cos x cos x.sin x sin x.cos x sin x 3 2      

x 2k 3 (k R) 2 x 2k 3

              

(do cosx ≠ 0)

x 2k 3 (k R) 2 x 2k 3

              

(thỏa mãn đk) (0,5 điểm)

2 2

2 2 x(x y ) 156y (1)

y(x y ) 39x (2)

      

Câu 3. (1 điểm)

Hệ phương trình tương đương với hệ:

2 2 2 2 x(x y ) 156y (1) y(x y ) 39x (2)       156y

x  − Nếu x = 0 thì y = 0.

− Với x ≠ 0. Từ (1) và (2) suy ra (−y)( 156y

x 



) = 39x

  y 0 và 4y2 = x2 (3). (0,5 điểm)

BỘ ĐỀ VTEST SỐ 11

ThuVienDeThi.com