Đề thi thử Đại học lần V năm 2013 môn Toán Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội

Page 1

2 sin3x cot x cos3x 2cosx  

Đề thi thử Đại học lần V năm 2013 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội

Câu 1. (2 điểm)

Cho hàm số y = x3 + 3x + 1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Đường thẳng ∆ đi qua điểm A (−1, 3) với hệ số góc k. Tìm các giá trị của k để ∆ cắt (C) tại các điểm phân biệt A, D, E. Gọi d1, d2, lần lượt là các tiếp tuyến của (C) tại D và E. Chứng minh rằng các khoảng cách từ A đến d1 và d2 bằng nhau.

Câu2. (1 điểm) Giải phương trình 2 sin3x cot x cos3x 2cos x  

3

3 x xy 2 0 y 3xy 3 0

       Câu 3. (1 điểm) Giải hệ phương trình

3

3 x xy 2 0 y 3xy 3 0

      

3 3 4

5 0

cosx cos x dx cos x

   Câu 4. (1 điểm) Tính tích phân I =

3 3 4

5 0

cos x cos x dx cos x

  

Câu 5. (1 điểm)

Tứ diện ABCD có AB = AC = AD = a, o 20 ̂ = o 20 ; o 60 ̂ = o 60

2 1 2 25 x y 1 48xy   

và BCD là tam giác vuông tại D. Tính thể tích khối tứ diện ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD, BC. Câu 6. (1 điểm)

Các số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn x + 2y = 1. Chứng minh rằng:

2 1 2 25 x y 1 48xy   

x 5 y 2 z 2 2 1 1     

Câu 7. (1 điểm)

Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD với đỉnh A(0; 0) và M(10; 5) là trung điểm của cạnh BC. Hãy viết phương trình dạng tổng quát các cạnh của hình vuông ABCD. Câu 8. (1 điểm)

Trong không gian Oxyz, cho điểm A (1; 1; 2), mặt phẳng (P): x + y + z – 2 = 0 và đường

thẳng ∆: x 5 y 2 z 2 2 1 1     

3 2

. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho đường thẳng

∆ và khoảng cách từ M đến ∆ bằng 3 2 .

2 2 z 2 z 2 26    

Câu 9. (1 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

1.

2 2 z 2 z 2 26    

3 2 3 2 z i 2 2

          2. Số 3 2 3 2 z i 2 2

       

lớn nhất.

BỘ ĐỀ VTEST SỐ 9

ThuVienDeThi.com

Page 2

Đề thi thử Đại học lần V năm 2013 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội



Câu 1. (2 điểm) 1. (1 điểm): Học sinh tự giải 2. (1 điểm) Đường thẳng 



: y = k(x + 1) + 3 cắt (C) tại 3 điểm phân biệt 

2 (x 1)(x 2x k 2) 0      

pt sau có 3 nghiệm phân biệt

x3 + 3x2 + 1 = k(x + 1) + 3 2 (x 1)(x 2x k 2) 0      

' 1 k 2 0 k 3 1 2 k 2 0

         

Để pt trên có 3 nghiệm phân biệt thì pt x2 + 2x – k – 2 = 0 (*) có 2 nghiệm

phân biệt khác –1 ' 1 k 2 0 k 3 1 2 k 2 0         

2 ' 2 D D 2 E E E x 6x ,k y (x ) 3x 6x    

(0,5 điểm)

Gọi D (xD ; yD), E (xE ; yE) khi đó xD, xE là nghiệm của (*). Theo hệ thức Viet ta có xD + xE = –2 Hệ số góc của các tiếp tuyến tại D và E là k1 = y’(xD) = 3 2 ' 2

D D 2 E E E x 6x ,k y (x ) 3x 6x    

2 D D x 6x  Do xD, xE là nghiệm của (*) nên 2 D D x 6x  2 E x =3(k + 2) = 3 2 E x

A 2x

+ 6xE. Suy ra các tiếp tuyến tại D và E của (C) có cùng hệ số góc. Mặt khác xD + xE = –2 = A 2x

0,cos3x 2cos x 0   

và 3 điểm A, D, E thẳng hàng nên A là trung điểm của DE.

Suy ra d (A; d1) = d (A; d2) (đpcm) (0,5 điểm) Câu 2. (1 điểm) Điều kiện: sinx 0,cos3x 2cos x 0    .

3

2 3 3sin x 4sin x cot x 4cos x cosx    

2 2 3

3 3

3 4 sin x cot x cos x cos x 4 sin x sin x

   

2

2 3 2 3(1 cot x) 4 cot x 4cot x cot x(1 cot x)      

Pt

3

2 3 3sin x 4sin x cot x 4cos x cos x

   

2 2 3

3 3

3 4 sin x cot x cos x cos x 4 sin x sin x

   

2

2 3 2 3(1 cot x) 4 cot x 4cot x cot x(1 cot x)

     

2

2 2 3 3 3cot x 1 1 cot x cot x cot x 1 3cot x cot x cot x        

cot x 1 x k , k Z 4      

(0,5 điểm)

2

2 2 3 3 3cot x 1 1 cot x cot x cot x 1 3cot x cot x cot x        

cot x 1 x k , k Z 4      

k , k Z 4  

. Kiểm tra điều kiện ta thấy thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình là x = k , k Z 4   (0,5 điểm)

0 

Câu 3. (1 điểm)

Từ pt x3 + xy – 2 = 0 suy ra x 0 

3 2 x y x   và

3 2 x y x  

3 3

3 2 x 3(2 x ) 3 0 x           

, thay vào pt thứ hai ta được

3 3

3 2 x 3(2 x ) 3 0 x           

BỘ ĐỀ VTEST SỐ 9

ThuVienDeThi.com