Tìm số hạng tổng quát của dãy số bằng phương pháp sai phân

Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201

TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ

BẰNG PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN I-Phƣơng trình sai phân bậc nhất:

Dạng 1: Cho dãy số {xn} :

0

n+1

onst

ax 0 n

x c

bx

     

. Tìm số hạng tổng quát của dãy số?

Từ công thức truy hồi ta có :

2

1 2 0 . . .................... .

n

n n n b b b x x x x a a a                        

Khi đó công thức tổng quát (CTTQ) của dãy số được xác định bởi : 0.

n

n

b x x a        .

Thí dụ : Cho dãy số {xn} được xác định bởi :

0

1

5

3 0 , n n

x

x x n 

       .

Tìm số hạng tổng quát của dãy số. Giải: Từ công thức truy hồi ta có : 2 1 2 0 3 3 ................. 3 5.3 n n n n n n x x x x hay x        .

Dạng 2: Cho dãy số {xn} :

0

n+1 ax ( ) n k

x

bx P n     

, với ( ) kP n là đa thức bậc k của n.

Tìm số hạng tổng quát của dãy số ?

Giải: Xét phương trình đặc trưng : 0 b a b a       .

Đối với dạng này ta xét thêm một giá trị * nx gọi là nghiệm riêng của phương trình sai phân. Khi đó số hạng tổng quát của dãy được xác định bởi : * . n n n x c x    . Trong đó nghiệm riêng * nx được xác định như sau :  Nếu a + b ≠ 0 thì nghiệm riêng * ( ) n k x Q n  thay vào phương trình ta được: . ( 1) . ( ) ( ) k k k aQ n bQ n P n    . Đồng nhất hệ số ta tìm được ( ) k Q n .  Nếu a + b = 0 thì nghiệm riêng * . ( ) n k x nQ n  thay vào phương trình ta được:

( 1). ( 1) . ( ) ( ) k k k a n Q n bnQ n P n     . Đồng nhất hệ số ta tìm được . ( ) k nQ n .

Thí dụ 1: Cho dãy số {xn} :

0

2 1

7

2 3 4 5 , . n n

x

x x n n n 

        .Tìm số hạng tổng quát xn .

Giải: Xét phương tình đặc trưng 2 0 2      . Ta có : a + b = 1 – 2 = -1 ≠ 0 nên nghiệm riêng pt có dạng : * 2 nx an bn c   . Thay * nx vào pt, ta được : 2 2 2 ( 1) ( 1) 2 2 2 3 4 5 a n b n c an bn c n n          2 2 (2 ) 3 4 5 an a b n a b c n n       . Đồng nhất hệ số hai vế ta được :

* 2 3 3 2 4 10 3 10 18 5 18

n

a a a b b x n n a b c c

                       

.

CTTQ của số hạng trong dãy : 2 .2 3 10 18 n nx c n n     . Từ 2 0 7 18 7 25. 25.2 3 10 18 n n x c c Suyra x n n          .

Thí dụ 2: Cho dãy số {xn} :

0

1

5

4 5 , . n n

x

x x n n 

        . Tìm CTTQ của xn.

Giải: Xét phương trình đặc trưng 1 0 1     .

ThuVienDeThi.com

Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201

Ta có : a + b = 1 – 1 = 0 nên nghiệm riêng của pt có dạng * 2 ( ) nx n an b an bn     . * nx vào pt, ta được : 2 2 ( 1) ( 1) 4 5 a n b n an bn n       . 2 4 5 an a b n     . Đồng nhất hệ số hai vế ta được :

* 2 2 4 2 2 3 5 3

n a a x n n a b b               

.

Số hạng tổng quát của dãy có dạng : 2 2 3 nx c n n    . Từ 2 0 5 5. 2 3 5. n x c Suy ra x n n      

Dạng 3: Cho dãy số {xn} :

0

n+1 ax ( onst) , n . n

x

bx d d c        

Khi đó số hạng tổng quát của dãy số là : 0

0

1

. 0. 1

0.

n

n

n

n

b d a b x x neu a b a b a a

x x nd neu a b

                                                    

Thí dụ 1: Cho dãy số {xn} :

0

1

5

6 , . n n

x

x x n 

       . Tìm CTTQ của xn .

Giải: Từ công thức truy hồi ta có :

1 2 3 0 6 2.6 3.6 ....... 6 6 5 n n n n n x x x x x n hay x n              .

Thí dụ 2: Cho dãy số {xn} :

0

1

3

8 4 , n n

x

x x n 

       . Tìm CTT Q của xn .

Giải: Từ công thức truy hồi, ta có :

   

2 2 2 1 2 2 2 0 8 1 8 1 8 4 8 8 4 4 8 . 4 8 1 8 . 4. ........ 8 . 4. 8 1 8 1

n n n n n n n x x x x x x    

                .

Suy ra   4 25 4 3.8 . 8 1 .8 . 7 7 7

n n n nx     

Dạng 4: Cho dãy số {xn} :

0

1 . , n n n

x

ax bx d n  

     . Tìm CTTQ của xn.

Giải: Xét phương trình đặc trưng : 0 . b a b q a       

 Nếu  …