Bộ đề Toán 12 - Số 23

1

BỘ ĐỀ MEGABOOK SỐ 23 Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số   3 2 3 2 3 y x x m x m      (C).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  C khi 2 m  .

b) Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị của hàm số  C đã cho vuông góc với đường

thẳng : – 2 0 d x y   .

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình  

2

2 1 cos2 sin 2cos2 2sin2

x x x x

   .

Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân

3 1

0

1

3 x x I dx x      .

Câu 4 (1,0 điểm). a) Tìm số phức z thỏa mãn phương trình      1 2 1 3 4 1 7 i z i iz i i       .

b) Cho tập hợp A tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0. Hỏi có thể lấy được

bao số tự nhiên từ tập A mà số đó chỉ có mặt ba chữ số khác nhau.

Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1

3 4 1 : 3 1 2 y x z d       ; 2d

là giao tuyến của hai mặt phẳng : 2 0 x y z      và : 3 12 0 x y     . Mặt phẳng   Oyz cắt hai

đường thẳng 1d , 2d lần lượt tại các điểm , A B. Tính diện tích tam giác MAB , biết   1;2;3 M .

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh a , BD a  . Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho 2 BM AM  . Biết rằng hai mặt phẳng   SAC và   SDM cùng vuông góc với

mặt phẳng   ABCD và mặt bên   SAB tạo với mặt đáy một góc 0 60 . Tính thể tích của khối chóp

.S ABCD theo a và cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng OM và SA . Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn

2 2 : 2 6 15 0 S x y x y      ngoại

tiếp tam giác ABC có   4;7 A . Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết   4;5 H là trực tâm của tam giác.

Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình    2 2

3 2 3

4 1 2

12 10 2 2 1

x x y y

y y x

            

, x y .

Câu 9 (1,0 điểm). Cho các số thực dương , , x y z bất kỳ. Chứng minh rằng

1 1 1 1 1 1 y y x z x z y z x y z x            .

..................HẾT..................

http://megabook.vn/ ThuVienDeThi.com

2

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1.a. Với 2 m  , hàm số trở thành 3 2 3 6 y x x    .

- Tập xác định: D R  .

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: 2 ' 3 6 y x x   ; 0 ' 0 2 x y x    

.

    ' 0, ;0 2; y x   , suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng   ;0  và   2;.

  ' 0, 0;2 y x   , suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng   0;2 .

+ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại 0; 6 CD x y   . Hàm số đạt cực tiểu tại 2; 2 CT x y   .

+ Giới hạn: lim ; lim x x y y    .

+ Bảng biến thiên

x  0 2  ' y  0  0  y



6

2



- Đồ thị:

+ Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm   0;6 .

+ Đồ thị hàm số nhận điểm uốn   1;4 I làm tâm đối xứng.

+ Đồ thị hàm số đi qua các điểm    1;2 , 3;6  .

- Vẽ đồ thị:

Câu 1.b. Ta có 2 ' 3 6 2 y x x m     .

Tiếp tuyến tại điểm M thuộc  C có hệ số góc  

2 2 3 6 2 3 1 5 5 k x x m x m m          

Dấu đẳng thức xảy ra khi 1 x . Suy ra min 5 k m   tại điểm   1;4 – 4 M m

Tiếp tuyến ( 5).1 1 4 d m m      .

Kết luận: 4 m  . Nhận xét: Dạng bài toán đường thẳng tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước. Ta tìm hệ sô góc của tiếp tuyến và hệ số góc của đường thẳng còn lại cho thỏa mãn tính chất vuông góc. Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

http://megabook.vn/ ThuVienDeThi.com