200 Bài tập Tích phân

Trang 1

TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ

x I dx x x

2 2

2 1 7 12 

  

Dạng 1: Tách phân thức

x d x x

2 2

2 

1 7 2   

I dx x x

2

1

16 9 1 4 3            

Câu 1. I x x x 2 1  

d x x

2

1

        x x x

2

1 16ln 4 9ln 3     I x x x 1

16 9  1 4 3            x x 1 16 n 4 9ln 3    1 25ln2 16ln3   = x

2 l  1  = 25ln2 16ln3

dx I

x x

2

5 3 1 

 

.

x x

2

5 3 1  

x x x x x x 3 2 3 2 1 1 1

( 1) 1     

Câu 2. dx I

x x 5 3 1 



x x x x x 3 2 3 2 1 1

( 1) 1     

I x x x

2 2

2 1 1 3 1 3 ln ln( 1) ln2 ln5 2 2 2 8 1 2

            

 Ta có: x x x x x x 3 2 3 2 1

( 1) 1  

I x x x2

2 1 1 3 1 3 ln ln( 1) ln2 ln5 2 2 2 8 1 2

            

x I dx x x x

5 2

3 2 4

3 1

2 5 6

 

   



x

2 2 2 2 2 8 1 2  

x I dx x x x

5 2

3 2 4

1

2 5 6

 

    I 2 4 13 7 14 ln ln ln2 3 3 15 6 5    Câu 3.

x x x 3 2 4

3

2 5 6   

4 1 7 1 ln ln2 3 3 15 6 5  

xdx I

x

1

0 3 ( 1) 

 

I 2 3 4 ln 3 3 15 6 5 

d

x

1

0 3 ( 1)  x x x x x x

2 3 3 3 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

         

I x x dx 1 2 3 0

1 ( 1) ( 1) 8

            

Câu 4. x x I

x 0 3 ( 1) 

 

x x x x x x

2 3 3 3 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

        

d 0 1   Ta có:

x x 3 3 1 1

( 1) ( 1)



 

I x x x 1 2 3 0

1 ( ) ( 1) 8

           

x I dx x

2

4 ( 1)

(2 1)

 

 

Dạng 2: Đổi biến số

I d x

2

4 ( 1

(2 1)

 



x x f x x x

2 1 1 1 ( ) . . 3 2 1 2 1

                  Câu 5. x x x 4 )

(2 1)  

2 1 1 3 2 1 2 1      

x I C x

3 1 1 9 2 1            Ta có: x x f x x x

1 ( ) . . 3 2 1 2 1

                 

x I C x

3 1 1 9 2 1          

 

 

x I dx x

99 1

101 0

7 1

2 1

 

 

 x 9 2 1   

 

x I dx x

101 0

7 1

2 1

 



 

x dx x x I d x x x x

99 99 1 1

2 0 0

7 1 1 7 1 7 1 2 1 9 2 1 2 1 2 1

                            

Câu 6.  

  x

99 1

101 0 2 1  

 

dx x x d x x x x

9

2 0 0 2 1 9 2 1 2 1 2 1

              

x x

100

100 1 1 7 1 1 1 2 1 0 9 100 2 1 900               

x I dx x

1

2 2 0

5

( 4) 

 



 

x I x x x x

99 9 1 1

2 0 0

7 1 1 7 1 7 1 2 1 9 2 1 2 1 2 1

                       

x x

100

100 1 1 7 1 1 1 2 1 0 9 100 2 1 900               

x I dx x

1

2 2 0

5

( 4) 

 Câu 7.

x2 2 0 ( 4)   t x2 4   I 1 8   Đặt t x2 4   1 8 I 

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x I dx x

1 7

2 5 0(1 ) 

 

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I d x

1 7

2 5 0(   t x dt xdx 2 1 2    Câu 8. x x x2 5 

1 ) 

dt 2 1 t I dt t

2 3

5 5 1

1 ( 1) 1 1 . 2 4 2

     Đặt t x xdx 2    I dt t

2 3

5 5 1

1 ( 1) 1 1 2 4 2

 

I x x dx 1

5 3 6

0

(1 )   

 t

t5 5 1

. 2 4 2 

d 1

0

( 

dt t t t x dt x dx dx I t t dt x

1 7 8 3 2 6 2

0

1 1 1 1 3 (1 ) 3 3 7 8 168 3

                  

Câu 9. I x x x 5 3 6

0

1 )  

t t t t d x

1 7 8 3 2 6 2

0

1 1 1 3 1 ) 3 3 7 8 168 3

                

I dx x x

4 3

4 1

1

( 1) 

 

 Đặt d t x dt x dx dx I t t x2

0

1 ( 3 3 7 8 168 3

 

 

I dx x x

4

4 1

1

( 1) 

  t x2  Câu 10.

x x

3

4 1 ( 1) 

2 t I dt t t

3

2 1

1 1 1 3 ln 2 4 2 1

            Đặt t x  t I d t t2 1

1 ln 2 4 2 1      

dx I

x x

2

10 2 1 .( 1) 

 

 t t t

3

2 1

1 1 3 2 4 2 1

       

x I

x x10 2 .( 1) 



x dx I

x x

2 4

5 10 2 1

.

.( 1) 

  Câu 11. d

x x

2

10 2 1  

d

x x

4

5 10 2 1 .( 1)   t x5   x x I

x x

2

5 10 2 1

.

.( 1) 



5 dt I

t t

32

2 2 1

1 5 ( 1) 

  . Đặt t x  t I

t t

32

2 2 1

1 5 ( 1) 

x I dx x x

2 7

7 1

1

(1 )

 

 

 d

t t2 2 1  

x d x x

2 7

7 1 (1 )  

x x I dx x x

2 7 6

7 7 1

(1 ).

.(1 )

 

  Câu 12. I x x x7 1

1

(1 )

 



x …