Chuyên đề Tích phân (30 bài tập)

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com GV: Nguyễn Chín Em

THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ www.DeThiThuDaiHoc.com Trang 1

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN A. BẢNG ĐẠO HÀM – NGUYÊN HÀM CƠ BẢN. Đạo hàm Mở rộng Nguyên hàm Mở rộng ( )' 0 c = dx x C = + ∫

( ) . ' c x c = . . k dx k x C = + ∫

( )

1 ' . n n x n x − = ( )

' 1 . '. n n u n u u − =

1 . 1

n n x x dx C n

+ = + + ∫ ( ) ( )

1 1 . 1

n n ax b ax b dx C a n

+ + + = + + ∫

'

2 1 1 x x  = −    

'

2 1 ' u u u −  =     1 . ln dx x C x = + ∫ 1 1 . .ln dx ax b C ax b a = + + + ∫

'

2 c c x x  = −    

'

2 . ' c c u u u −  =     . .ln k dx k x C x = + ∫ . .ln k k dx ax b C ax b a = + + + ∫

( )

' 1 2 x

x = ( )

' ' 2

u u

u = . x x e dx e C = + ∫ 1 . . ax b ax b e dx e C a

+ + = + ∫

( )

' x x e e = ( )

' '. u u e u e = . ln

x x a a dx C a = + ∫

( )

' .ln x x a a a = ( )

' . '.ln u u a a u a = sin . cos x dx x C = − + ∫ ( ) ( ) 1 sin . cos ax b dx ax b C a + = − + + ∫

( )

' 1 lnx x = ( )

' ' ln u u u = cos . sin x dx x C = + ∫ ( ) ( ) 1 cos . sin ax b dx ax b C a + = + + ∫

( )

' 1 log .ln a x x a =

( )

' ' log .ln a

u u u a = 2 1 . tan cos dx x C x = + ∫

( )

' sin cos x x =

( )

' sin '.cos u u u = 2 1 . cot sin dx x C x x = − + ∫

( )

' cos sin x x = −

( ) cos ' '.sin u u u = −

tan . ln cos x dx x C = − + ∫

( )

'

2 1 tan cos x x =

( ) ' tan ' cos

u u u = cot . ln sin x dx x C = + ∫

( )

'

2 1 cot sin x x = −

( ) 2

' cot ' sin

u u u = −

Một số công thức LG thường sử dụng để tính nguyên hàm.

( ) ( ) 1 cos .cos cos cos 2 a b a b a b   = − + +  

( ) ( ) 1 sin .sin cos cos 2 a b a b a b   = − − +  

( ) ( ) 1 sin .cos sin sin 2 a b a b a b   = − + +  

2 1 cos2 sin 2

a a − = ; 2 1 cos2 cos 2

a a + =

sin 2 2sin .cos a a a =

2 2

2

2

cos sin

cos2 2cos 1

1 2sin

a a

a a

a

 −  = −  − 

2 2

2 2 cos 1 sin

sin 1 cos

a a

a a

 = −  = − 

Qui tắc đạo hàm. 1. ( )

' . '. . ' u v u v u v = +

2.

'

2 '. . ' u u v u v v v −  =    

ThuVienDeThi.com

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com GV: Nguyễn Chín Em

THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ www.DeThiThuDaiHoc.com Trang 2

B. TÍCH PHÂN. 1. 2. Tính chất.

a) ( ) ( ) . .

a b

b a f x dx f x dx − = ∫ ∫ b) ( ) ( ) . . . .

b b

a a k f x dx k f x dx = ∫ ∫

c) ( ) ( ) ( ) ( ) .

b b b

a a a f x g x dx f x dx g x dx   ± = ±   ∫ ∫ ∫ d) ( ) 0

a

a f x dx = ∫

e) ( ) ( ) ( ) . . .

b b b

a a a m f x M m dx f x dx M f x dx ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ∫ ∫ ∫ f) ( ) ( ) ( ) . . .

c b c

a a b f x dx f x dx f x dx = + ∫ ∫ ∫

3. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍCH TÍCH PHÂN 3.1. Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản để tính tích phân.

3.2. Tích phân hàm hữu tỷ: ( ) ( )

b

a

f x dx g x ∫

- Nếu bậc ( ) f x ≥ bậc ( ) g x → Chia đa thức.

- Nếu bậc ( ) f x < bậc ( ) g x : Ta sử dụng hệ số bất định.

( )( ) ( ) ( ) 1 2 1 2

ax b A B x x x x x x x x + = + − − − − ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 0

ax b A B x x x x x x

+ = + − − −

3.3. Phương pháp đổi biến số: ( ) ( ) . '

b

a A f u x u x dx   =   ∫ .

Dạng 1: Đặt ( ) ( ) ' . t u x dt u x dx = ⇒ = ; đổi cận:

Ta được: ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

.

u b

u b

u a u a A f t dt F t = = ∫

* Một số thủ thuật đặt t . Dạng ( ) ( )

b

a

f u x dx ∫ ( )

( )

b

n a

u x dx v x ∫ ( ) sin .

cos

b

a

x dx f x ∫ ( ) ( ) .

b u x

a

e v x dx ∫ ( ) ln b

a

f x dx x ∫ ( )

2 tan

cos

b

a

f x dx x ∫

t ( ) u x ( ) t v x = ( ) cos t f x = ( ) t u x = ( ) ln t f x = tan t x =

m lẻ

cos t x =

m chẳn m = 0 n chẳn âm

tan t x =

Dạng sin .cos

b m n

a

x xdx ∫

n chẳn sin t x =

n chẳn

Hạ bậc

2 1 cos2 sin 2

a a − =

2 1 cos2 cos 2

a a + = n = 0 m chẳn âm

cot t x = Dạng 2: Dạng 2 2 a x + 2 2 a x − 2 2 x a −

Đặt tan , ; 2 2 t a t t π π   = ∈−    

sin , ; 2 2 x a t t π π   = ∈−    

{ } , ; \ 0 sin 2 2 a x t t π π   = ∈−    

( ) ( ) ( ) ( ) .

b b

a a

f x dx F x F b F a = = − ∫

x a b t ( ) u a ( ) u b

ThuVienDeThi.com