11 sai lầm khi tính tích phân

11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân 3

11 SAI LẦM KHI TÍNH TÍCH PHÂN

Bài 1. Tính tích phân

4

2

0

1 I x dx.

Lời giải sai: Đặt sin cos x t dx tdt .

4 4 4 2 2

0 0 0

1 cos2 1 1 sin .cos cos 2 8 4 t I t tdx tdt .

Lý do sai: Đổi biến số nhưng không đổi cận.

Lời giải đúng: sin cos x t dx tdt . Khi arcsin 4 4 0 0

x t

x t

.

arcsin arcsin arcsin 4 4 4 2 2

0 0 0

1 cos2 1 sin .cos cos 2

t I t tdx tdt

1 1 arcsin sin 2arcsin 2 4 4 4 .

Bài 2. Tính tích phân

1

5 0 2 1

dx I

x

.

Lời giải sai: Đặt 2 1 t x . Khi 1 3 0 1 x t x t .

3 3 4

5 4 1 1

1 1 20 1 4 4 81 3 dt t I

t

.

Lý do sai: Đổi biến không tính vi phân.

Lời giải đúng: Đặt 2 1 2 t x dt dx . 1 3 0 1 x t x t .

3 3 4

5 4 1 1

1 1 10 1 8 8 81 2 3 dt t I

t

.

Bài 3. Tính tích phân

2

0

x I xe dx.

http://megabook.vn/ ThuVienDeThi.com

11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân 4

Lời giải sai: Đặt ' 1

' x x u x u

v e v e

.

2 2 2

0

0

1 x x I xe e dx e .

Lý do sai: Hiểu sai bản chất công thức từng phần.

Lời giải đúng: Đặt x x u x du dx

dv e dx v e

.

2 2 2

0

0

1 x x I xe e dx e .

Bài 4. Cho n N ; chứng minh

2

0

sin sin 0 I x nx dx .

Lời giải sai: Xét hàm số sin sin f x x x nx trên 0;2 .

Ta có f x là hàm liên tục trên 0;2 và sin sin f x x nx f x .

Vậy f x là hàm lẻ, suy ra 0 I .

Lý do sai: Học sinh hiểu sai về định lý “Nếu hàm số f x là hàm lẻ, liên tục trên

;a a thì 0

a

a

f x dx ”.

Lời giải đúng: Đặt x y dx dy .

2

0

sin I x nx dx y ny n dy

1 sin sin n ny y dy .

Mặt khác ta có: sin sin g y ny y xác định trên ; là hàm liên tục và

sin g y ny y g y .

Suy ra g y là hàm lẻ.

Vậy 0 I .

Bài 5. Cho hàm số f liên tục trên 0; ; hãy so sánh

0

sin I xf x dx và

http://megabook.vn/ ThuVienDeThi.com

11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân 5

0

sin J f x dx.

Lời giải sai: Đặt sin cos

u x du dx

dv f x dx v f x .

0

0 cos cos I xf x f x dx .

Do f liên tục trên 0; , suy ra

0 cos 0 0 cos f f I f x dx (1).

Mà

0

sin 2 J f x dx (2).

Từ (1) và (2) ta có I J .

Lý do sai: Học sinh không hiểu về hàm liên tục, tích phân và vi phân. Lời giải đúng: Đặt x t dx dt .

0

0 0 sin sin sin I t f t dt f x dx xf x dx

0 0 2 sin sin 2 I f x dx I f x dx.

Vậy ta có I J .

Bài 6. Cho hàm số f liên tục trên ;a b ; chứng minh tồn tại ít nhất một điểm

; C a b sao cho

c b

a c f x f c dx f c f x dx .

Lời giải sai: Do f liên tục trên ;a b , suy ra f x f c trên ,a c bằng

f x f c trên ,b c , vậy ta có

c b c

b a c f x f c dx f x f c dx f c f x dx .

Lý do sai: Không hiểu về hàm liên tục nên tính tích phân sai. Lời giải đúng: Áp dụng định lý về giá trị trung bình của tích phân, suy ra tồn tại ít

nhất một điểm ; C a b sao cho

b b

a a f x dx f c b a f c dx

Suy ra 0

b c b

a a c f x f c dx f x f c dx f x f c dx .

http://megabook.vn/ ThuVienDeThi.com

11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân 6

Hay ta có

c b

a c f x f c dx f c f x dx (đpcm).

Bài 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 0; 1; 4

9

y x x

y x

.

Lời giải sai: Diện tích hình phẳng là:

4 4

2 2

1 1

1 9 9 7 3 S x dx x x .

Lý do sai: Áp dụng sai công thức, không ghi “đvdt – đơn vị diện tích”. Lời giải đúng: Diện tích hình phẳng là:

3 3 4 2 2 2

1 1 3 9 9 9 S x dx x dx x dx

3 4

3 3

1 3

1 1 65 38 9 9 9 3 3 2 3 x x x x (đvdt).

Bài 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2

0; 1

1; 0

y y

y x x

.

Lời giải sai: 2 1 1 y x y x

0 1 y x ; 1 2 y x .

Diện tích hình phẳng là:

2 2 3 2

1 1

2 2 1 1 3 3 S x dx x (đvdt).

Lý do sai: Xác định sai hình cần tính diện tích. Lời giải đúng: Diện tích hình giới hạn là: 1 2 S S S

Ta có 2 1 1 1 S (đvdt).

2 2 3 2 2

1 1

2 1 1 1 1 3 3 S x dx x x

1 4 1 3 3 S (đvdt).

http://megabook.vn/ ThuVienDeThi.com