Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng - Ôn thi Đại học

1

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG ÔN THI ĐẠI HỌC NĂM 2009 I. Đường thẳng 1. Phương trình đường thẳng a) Các định nghĩa

• Vectơ ( ) ; n A B G khác vectơ 0 G và có giá vuông góc với đường thẳng ( ) d được gọi là vectơ

pháp tuyến của đường thẳng ( ) d

• Vectơ ( ) ; u a b G khác vectơ 0 G có giá song song hoặc trùng với ( ) d được gọi là vectơ chỉ

phương của đường thẳng ( ) d

Nếu 0 a ≠ thì b k a = được gọi là hệ số góc của đường thẳng ( ) d

• Chú ý: - Các vectơ pháp tuyến (vectơ chỉ phương) của một đường thẳng thì cùng phương. Nếu

( ) ; n A B G là vectơ pháp tuyến của ( ) d thì ( ) . ; k n kA kB = G cũng là vectơ pháp tuyến của ( ) d

- Vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương của một đường thẳng thì vuông góc nhau. Nếu

( ) ; n A B G là vectơ pháp tuyến thì ( ) ; u B A − G là vectơ chỉ phương.

b) Các dạng phương trình • Phương trình tổng quát của đường thẳng ( ) d đi qua điểm ( ) 0 0 ; M x y có vectơ pháp tuyến

( ) ; n A B G là:

( ) ( ) ( ) ( )

0 0

0 0

: 0

0

d A x x B y y

Ax By C C Ax By

− + − =

⇔ + + = = − −

Nhận xét: Phương trình đường thẳng ( ) 1d song song với ( ) d có dạng: ( ) 1 : 0 d Ax By C′ + + =

Phương trình đường thẳng ( ) 2 d vuông góc với ( ) d có dạng ( ) 2 : 0 d Bx Ay C′′ − + =

Phương trình đường thẳng có hệ số góc k và đi qua điểm ( ) 0 0 ; A x y là: ( ) 0 0 y k x x y = − +

Phương trình đường thẳng đi qua ( ) ( ) ;0 , 0; A a B b là: ( ): 1 x y AB a b + = (phương trình đoạn chắn)

• Phương trình tham số của đường thẳng ( ) d đi qua ( ) 0 0 ; N x y có vectơ chỉ phương ( ) ; u a b

G

là:

( ) 0

0 : x x at d y y bt

= + ⎧ ⎨ = + ⎩ ( t là tham số)

MATHVN.COM - www.mathvn.com

ThuVienDeThi.com

2

• Phương trình chính tắc của đường thẳng ( ) d đi qua ( ) 0 0 ; N x y có vectơ chỉ phương ( ) ; u a b G

( ) , 0 a b ≠ là: 0 0 x x y y a b − − =

c) Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ( ) 1 1 1 1 : 0 d A x B y C + + = và ( ) 2 2 2 2 : 0 d A x B y C + + = . Khi đó số giao điểm

của ( ) 1d và ( ) 2 d là số nghiệm của hệ phương trình: ( ) 1 1 1

2 2 2

0 : 0

A x B y C I A x B y C

+ + = ⎧ ⎨ + + = ⎩

Trong trường hợp ( ) 1d và ( ) 2 d cắt nhau thì nghiệm của ( ) I chính là tọa độ của giao điểm.

2. Khoảng cách và góc a) Khoảng cách • Cho đường thẳng ( ): 0 Ax By C Δ + + = và điểm ( ) 0 0 ; A x y .

Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ( ) d là: ( )

0 0 / 2 2 A Ax By C d A B Δ + + = +

• Cho hai đường thẳng ( ) 1 1 1 : 0 A x B y C Δ + + = và ( ) 2 2 2 2 : 0 A x B y C Δ + + = cắt nhau tại A. Khi

đó phương trình hai đường phân giác của góc A là:

( ) 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 : 0 A x B y C A x B y C d A B A B

+ + + + + = + + và ( ) 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 : 0 A x B y C A x B y C d A B A B

+ + + + − = + +

b) Góc Hai đường thẳng ( ) 1d và ( ) 2 d cắt nhau tại A tạo ra 4 góc, góc nhỏ nhất trong 4 góc đó được

gọi là góc giữa hai đường thẳng ( ) 1d và ( ) 2 d . Nếu 1 2 // d d thì góc giữa hai được thẳng là 0o .

Gọi α là góc giữa ( ) 1d và ( ) 2 d , β là góc giữa hai vectơ chỉ phương ( ) 1 1 1 ; u a b JG và ( ) 2 2 2 ; u a b JJG .

Khi đó: Nếu 0 90 o o ≤β ≤ thì α = β

Nếu 90 180 o o < β ≤ thì 180o α = −β

Trong đó β được tính như sau: 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 1 2 1 1 2 2

. cos . .

u u a a bb

u u a b a b

+ β = = + +

JG JJG

JG JJG

Khi đó 1 2 1 2

2 2 2 2 1 1 2 2 cos cos .

a a bb

a b a b

+ α = β = + +

Các kết quả trên vẫn đúng nếu thay vectơ chỉ phương bằng vectơ pháp tuyến. Trường hợp đặc biệt: Phương trình đường thẳng đi qua điểm ( ) 0 0 ; A x y hợp với Ox một góc α có hệ số góc

là tan k = α và có phương trình là: ( ) 0 0 y k x x y = − +

3. Bài tập về đường thẳng

MATHVN.COM - www.mathvn.com

ThuVienDeThi.com