Các dạng toán trọng tâm về hàm số - P1

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng

Trung tâm LTĐH Moon.vn – Số nhà 25B – Ngõ 66 – Thái Thịnh II www.moon.vn

02. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VỀ HÀM SỐ - P1

I. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ CỰC TRỊ VÀ TIẾP TUYẾN

Bài 1: Cho hàm số ( ) 3 2 ( ) 3 1 1 y f x mx mx m x = = + − − −, m là tham số Xác định các giá trị của m để hàm số ( ) y f x = không có cực trị.

Lời giải: + Khi m = 0 1 y x ⇒ = −, nên hàm số không có cực trị.

+ Khi 0 m ≠ ( ) 2 ' 3 6 1 y mx mx m ⇒ = + − −

Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi ' 0 y = không có nghiệm hoặc có nghiệm kép

( ) 2 2 ' 9 3 1 12 3 0 m m m m m ⇔∆= + − = − ≤ 1 0 4 m ⇔ ≤ ≤

Bài 2: Cho hàm số

3 2 1 2 3 3 y x mx mx = − + , m là tham số thực. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x1, x2

sao cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất

2 2 2 1 2 2 1 2

4 9 4 9

x mx m m D x mx m m + − = + + −

Lời giải: Ta có 2 ' 4 3 y x mx m = − +

hàm số đạt cực trị tại x1, x2 khi và chỉ khi 2

3 4 3 0 4 0

m m m m

 >  − > ⇔ < 

(*)

Khi đó

2 1 1

2 2 2

1 2

4 3

4 3

4

x mx m

x mx m

x x m

 = −  = −   + = 

Suy ra 16 12 16 12 m m D m m

− = + −

Với m thỏa mãn (*) thì 12 16 − m

m và m m 12 16 − là hai số dương, nên áp dụng BĐT Cosi ta có 2 ≥ D ,

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 4 5 m =

Vậy minD = 2 khi 4 5 m = . Vậy giá trị cần tìm là 4. 5 m =

Bài 3: Cho hàm số y = x3 – 3x + 2 (C). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) có phương trình

3 2 y x = − + sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.

Lời giải: Gọi ( ; 3 2) M a a − + là điểm cần tìm. Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm (x0; y0) là: y = (3x0 2 – 3)(x – x0) + x0 3 – 3x0 +2. Tiếp tuyến đi qua M(a; b) nên ta có -3a + 2 = (3x0 2 – 3)( a – x0) + x0 3 – 3x0 + 2 ⇔2x0 3 – 3ax0 2 = 0 ⇔x0 = 0 hoặc x0 = 3a/2.

Có hai tiếp tuyến đi qua M với hệ số góc là 1 '(0) 3 k f = = − và 2

3 ' 2

a k f   =    

=

2 27 3 4

a − .

Hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau ⇔k1.k2 = -1 ⇔a2 = 40/81 ⇔a = 9

10 2 ± .

Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là: M( 9

10 2 ± ; 2 3

10 2 + ∓ ).

ThuVienDeThi.com

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng

Trung tâm LTĐH Moon.vn – Số nhà 25B – Ngõ 66 – Thái Thịnh II www.moon.vn

Bài 4: Cho hàm số 2 3 2 x y x

+ = − . Tìm m để đường thẳng ( ): 2 d y x m = + cắt (C) tại hai điểm phân biệt sao

cho tiếp tuyến của (C) tại hai điểm đó song song với nhau.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm: ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 6 2 3 0 * 2 3 2 2 2

g x x m x m x x m x x

 = + − − + = +  = + ⇔ − ≠ 

(d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt và khác 2.

( ) ( ) ( ) 2 2 0

6 8 2 3 0 4 60 0 2 0

g m m m m g

∆>  ⇔ ⇔ − + + > ⇔ + + >  ≠  (luôn đúng).

Với điều kiện trên giả sử đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm có hoành độ 1 2 x x ≠ .

Theo Vi-ét ta có 1 2 6

2

m x x − + = .

Tại hai giao điểm kẻ hai tiếp tuyến song song khi và chỉ khi ( ) ( ) 1 2 1 2 ' ' 4 y x y x x x = ⇔ + = 2 m ⇔ = −.

Vậy 2 m = − là giá trị cần tìm. Bài 5: Cho hàm số ( ) 3 3 2 m y x mx C = − + . Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của( ) m C cắt

đường tròn tâm ( ) 1;1 , I bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất?

Lời giải: Ta có 2 ' 3 3 y x m = − Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình ' 0 y = có hai nghiệm phân biệt 0 m ⇔ >

Vì 1 . ' 2 2 3 y x y mx = − + nên đường thẳng ∆ đi qua cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số có phương trình là

2 2 y mx = − +

Ta có ( )

2 2 1 , 1 4 1

m d I R m

− ∆= < = + (vì m > 0), chứng tỏ đường thẳng ∆ luôn cắt đường tròn tâm I(1; 1), bán

kính R = 1 tại 2 điểm A, B phân biệt.

Với 1 2 m ≠ , đường thẳng ∆ không đi qua I, ta có: 2 1 1 1 . .sin 2 2 2 ABI S IA IB AIB R ∆ = ≤ =

IAB S∆ đạt giá trị lớn nhất bằng 1

2 khi sin 1 AIB = hay tam giác AIB vuông cân tại I

1 2 2 R IH ⇔ = = (với H là trung điểm của AB)

2 2 1 1 2 3 2 2 4 1

m m m

− ± ⇔ = ⇔ = + là giá trị cần tìm.

Bài 6: Cho hàm số 3 2 3 1, y x x mx = − + + với m …