Bài tập Giải Tích 12 - Tính đơn điệu của hàm số

Giải Tích 12 Chương 1: Khảo Sát Hàm Số

Gv: Lê Thái Dương : 01654565578 Trang 1

BÀI: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

I. Lý Thuyết:

1. Định nghĩa:

Cho hàm số ( ) f x xác định trên   ;a b

 Hàm số ( ) f x được gọi là đồng biến trên   ;a b nếu   1 2 , ; x x a b  

1 2 x x  thì 1 2 ( ) ( ) f x f x  .

 Hàm số ( ) f x được gọi là nghịch biến trên   ;a b nếu   1 2 , ; x x a b  

1 2 x x  thì 1 2 ( ) ( ) f x f x  . 2. Định lý:

Cho hàm số ( ) y f x  có đạo hàm trên   ;a b

 Nếu   '( ) 0, ; f x x a b   thì hàm số ( ) f x đồng biến trên   ;a b

 Nếu   '( ) 0, ; f x x a b   thì hàm số ( ) f x nghịch biến trên   ;a b

3. Các bước khảo sát sự biến thiên của hàm số:

 Tìm miền xác định. Tính '( ) f x  Tìm các điểm tại đó '( ) 0 f x  hoặc '( ) f x không xác định.  Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.  Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

+ ' 0 y  : hàm số đồng biến. + ' 0 y  : hàm số nghịch biến. 4. Tìm tham số để hàm số đơn điệu trên miền K:

Phương pháp: Sử dụng các kiến thức sau đây:

1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.  Nếu f '(x) 0, x K   thì f(x) đồng biến trên K.  Nếu f '(x) 0, x K   thì f(x) nghịch biến trên K.

2. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c có biệt thức

2 b 4ac   . Ta có:

 a 0 f(x) 0, x R 0      

 a 0 f(x) 0, x R 0      

ThuVienDeThi.com

Giải Tích 12 Chương 1: Khảo Sát Hàm Số

Gv: Lê Thái Dương : 01654565578 Trang 2

3. Xét bài toán: “Tìm m để hàm số y = f(x,m) đồng biến trên K”. Ta thực hiện theo

các bước sau:  B1. Tính đạo hàm f’(x,m).  B2. Lý luận:

Hàm số đồng biến trên K f '(x,m) 0, x K     

  K K

m g(x), x K m g(x)

m Maxg(x) m Maxg(x)

   

  

 B3. Lập BBT của hàm số g(x) trên K. Từ đó suy ra giá trị cần tìm của tham số m. II. Bài Tập:

Bài 1. Khảo sát chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) 2 2 y x x  

b) 2 2 1 y x x   

c) 3 2 2 3 1 y x x   

d) 3 2 2 1 y x x x    

e) 3 2 3 3 2 y x x x    

f) 4 2 2 3 y x x   

g) 4 2 2 2 y x x   

h)    2 2 1 1 y x x   

i) 1 1 x y x

  

j) 5 2

3

x y x

  

k)

2 2 1 x x y x    

l)

2 2 4 2 x x y x    

m)

2 1 1 x x y x

   

n)

2

2

1 1 x x y x x     

Bài 2. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

a)

2 2 3 y x x   

b) 3 y x x   

c)

2 4 y x x  

d) 3 y x x  

Bài 3. Định m để các hàm số sau nghịch biến trên từng khoảng xác định:

a) 3 2 10 3 y x mx x    

b)   3 2 1 2 2 1 3 2 3 y x x m x m      

c) x m y x m   

d)   1 2

2 m x y mx m     

Bài 4. Định m để các hàm số sau đây đồng biến trên từng khoảng xác định:

a) 2 1 x m y x

   b) 3 2 1 m x y x

  

ThuVienDeThi.com

Giải Tích 12 Chương 1: Khảo Sát Hàm Số

Gv: Lê Thái Dương : 01654565578 Trang 3

c)

2 1 1 x mx y x    

d) 2 1 m y x x    

e)  

2 1 2 6 1 m x mx m y x     

Bài 5. Xét tính đơn điệu của hàm số sau:

a) 2sin cos2 y x x   với   0; x  

b) sin 2 2cos 2 y x x x    với ; 2 2 x        

Bài 6. Chứng minh rằng:

a) Hàm số 2 sin y x x   đồng biến trên R. b) Hàm số tan y x x   nghịch biến trên từng khoảng xác định.

c) Hàm số sin tan 2 y x x x    đồng biến trên nửa khoảng 0; 2

     

.

Bài 7. Định m để hàm số:

a) 3 2 3 4 y x x mx     đồng biến trên khoảng   ;0  .

b) 3 2 1 (2 1) 2 3 y x m x mx      đồng biến trên khoảng   2;.

c) 4 mx y x m    đồng biến trên khoảng   ;1  .

d)

2 6 2 2 mx x y x

    nghịch biến trên nửa khoảng   1;.

e)

3 2 1 ( 1) (2 1) (3 2) 3 y m x m x m x m        nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4.

f)

3 2 1 ( 1) ( 3) 4 3 y x m x m x       đồng biến trên khoảng có độ dài bằng 4.

g) 3 2 3 y x x mx m     nghịch biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn 2 2 .

ThuVienDeThi.com