Các phương pháp giải Phương trình lượng giác

Các Phương Pháp Giải Phương Trình Lượng Giác TrườngTHPT YJUT

Lưu Phi Hoàng Trang 1

Chương I: Phương trình lượng giác cơ bản

và một số phương trình lượng giác thường gặp

Để giải 1 PTLG , nói chung ta tiến hành theo các bước sau:

Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa. Các điều kiện ấy bao hàm các điều kiện để căn có nghĩa,phân

số có nghĩa, biểu thức có nghĩa. Ngoài ra trong các PTLG có chứa các biểu thức chứa va logarit tan x

thì cần điều kiện để và có nghĩa. cotgx tan x cotgx

Bước 2: Bằng phương pháp thích hợp đưa các phương trình đã cho về một trong các phương trình cơ bản .

Bước 3: Nghiệm tìm được phải đối chiếu với điều kiện đã đặt ra. Những nghiệm nào không thoả mãn điều kiện

ấy thì bị loại.

1.1-Phương trình lượng giác cơ bản

1.1.1- Định nghĩa: Phương trình lượng giác là phương trình chứa một hay nhiều hàm số lượng giác .

1.1.2- Các phương trình lượng giác cơ bản.

a) Giải và biện luận phương trình (1) sin x m 

Do nên để giải phương trình (1) ta đi biện luận theo các bước sau   sin 1;1 x

Bước1: Nếu |m|>1 phương trình vô nghiệm

Bước 2: Nếu |m|<1 ,ta xét 2 khả năng

-Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua sin của góc đặc biệt ,giả sử khi đó phương trình sẽ có dạng đặc biệt. 

2 sin sin , 2 x k x k x k                

A

-Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua sin của góc đặc biệt khi đó đặt m= . Ta có: sin

2 sin sin , 2 x k x k x k                

A

Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm

Đặc biệt ta cần phải nhớ được các giá trị của các cung đặc biệt như vì sau khi biến đổi ; ; ; ; ;2 6 4 2 3        

các bài toán thương đưa về các cung đặc biệt.

Ví dụ 1: Giải phương trình

1 sin 4 x 

ThuVienDeThi.com

Các Phương Pháp Giải Phương Trình Lượng Giác TrườngTHPT YJUT

Lưu Phi Hoàng Trang 2

Giải:

Ta nhận thấy không là giá trị của cung đặc biệt nào nên ta đặt = 1 4

1 4 sin

Khi đó ta có: 2 sin sin , 2 x k x k x k                

A

Vậy phương trình có 2 họ ngiệm

Ví dụ 2: Giải phương trình

3 sin(3 ) 4 2 x   

Giải:

Do nên 3 sin 3 2 

3 sin(3 ) sin(3 ) sin 4 2 4 3

2 3 2 3 2 4 3 4 3 24 3 5 2 3 2 3 2 4 3 3 4 24 3

x x

x k x k x k

k x k x k x k

  

       

         

    

                                       

A

Vậy phương trình có hai họ nghiệm .

b) Giải và biện luận phương trình lượng giác cos ( ) x m b 

Ta cũng đi biện luận (b) theo m

Bước 1: Nếu phương trình vô nghiệm . 1 m 

Bước 2: Nếu ta xét 2 khả năng: 1 m 

-Khả năng 1: Nếu được biểu diễn qua của góc đặc biệt, giả sử góc . Khi đó phương trình có dạng m cos 

2 cos cos , 2         

A x k x k x k     

-Khả năng 2: Nếu không biểu diễn được qua của góc đặc biệt khi đó m cos

đặt = .Ta có: m cos  2 cos cos , 2         

A x k x k x k     

Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm

Ví Dụ Minh Hoạ.

ThuVienDeThi.com

Các Phương Pháp Giải Phương Trình Lượng Giác TrườngTHPT YJUT

Lưu Phi Hoàng Trang 3

Ví dụ 1: Giải phương trình sau:

1 cos 2 x 

Giải:

Do nên 2 1 cos( ) cos 3 3 2      1 2 cos cos cos 2 ( ) 2 3 3 x x x k k          A

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm

Ví dụ 2: Giải phương trình:

3cos(2 ) 1 6 x   

Giải:

1 3cos(2 ) 1 cos(2 ) 6 6 3 x x      

Vì và không là giá trị của cung đặc biệt nên tồn tại góc sao cho   1 1;1 3  1 3   0;   

1 cos 3 

Ta cã: cos(2 ) cos 2 2 6 6 x x k           

2 2 ( ) 6 12 2         A x k x k k      

Vậy phương trình có hai họ nghiệm .

c) Giải và biện luận phương trình lượng giác tan ( )  x m c

Ta cũng biện luận phương trình (c) theo các bước sau:

Bước 1: Đặt điều kiện cos 0 , 2     A x x k k  

Bước 2: Xét 2 khả năng

-Khả năng 1: Nếu được biểu diễn qua tan của góc đặc biệt , giả sử khi đó phương trình có dạng m 

tan tan ,     A x x k k   

-Khả năng 2: Nếu không biểu diễn được qua tan của góc …