Bổ trợ kiến thức Hình học 12

NH – 378 – 135

* HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB = a, AC = , BC = 3 a 2a. Tam giác SBC cân tại S, tam giác SCD vuông tại C. Tính thể tích khối chóp SABCD, biết

khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) bằng 3 3 a

GIẢI:

Do CD = a, AC = a ,AD = 2a 3 nên t/giác ACD vuông tại C. Gọi H là của S trên (ABCD), E là trung điểm BC => BC v/góc (SEH) Ta có DC v/góc CS => DC v/góc CH (đ/lý 3 đ/v/góc) Mặt khác: DC v/góc CA => H thuộc AC. Xét t/g/vuông CEH:

sin C = 1 2 2 AB a BC a  

,biết EC = a : 0 30 HEC  

Suy ra: EH = 2 , , 3 3 a a CH 

AH AC CH   2 3

3 a a  

3 3 3 a a  

Gọi I là giao điểm của AD với (SEH), trong t/giác SIE, kẻ IK v/góc SE. Do t/giác AIH là nửa

t/giác đều, có 3 3 , 3 6 2 a a a AH IH AI    

3 3 3 6 3 2 a a a IE IH HE      

Mặt khác: . Do đó:   IK SE IK SBC IK BC               , , d D SBC d AD SBC 

    3 , 3 a d I SBC IK   

2 2 . ; KE IK KE EKI EHS SH IK KE IE IK HE SH HE       : ::

2 2 3 3 15 4 9 6 a a a    3 3 6 2 15 . . 3 3 15 15 a a a SH

a   

 

3 1 1 2 15 2 15 2. 5. . . . . 2. . . 3 3 3 15 45 15 SABCD ABCD ABC a a a V SH S S a a    

H

C

A D

B

S

E

I

K

ThuVienDeThi.com

NH – 378 – 135

Vậy thể tích khối chóp SABCD bằng:

3 2. 5.

15

a

Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân (AB = BC = 1) và các cạnh bên SA = SB = SC = 3. Gọi K, L lần lượt là trung điểm của AC và BC, Trên cạnh SA, SB lần lượt lấy các điểm M, N sao cho SM = BN = 1. Tính VLMNK. GIẢI: Ta có:  1 LMNK MNKL V V 

Lấy điểm E trên SA sao cho AE = 1=> NE // AB // KL

 2 NKL EKL MNKL MEKL S S V V    1 6 EKM SAC S S 

    , 2 BK d L MKE 

 3 MEKL LEKM V V   1 , 2 , 3 LMNK LEKM V V   1 1 1 . . . . 3 2 6 3 SAC SABC ABC BK S V SK S  

1 . ; 12 LEKM SABC V V   1. . 3 SABC ABC V SK S 

1 17 1 17 . . 3 2 2 6 2  

1 17 34 . 12 144 6 2 LEKM V   

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và tam giác SCD vuông tại S. 1) Tính theo a thể tích khối chópS.ABCD. 2) Cho M là điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM vuông góc cới SA. Tính AM theo a. 3) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC. GIẢI: 1) là t/giác đều, cạnh a. Gọi I, J lần lượt là t/điểm AB, CD SAB :

theo g/tuyến IJ      AB IS AB SIJ ABCD SIJ AB IJ         Gọi H là h/chiếu v/góc của S trên IJ => SH v/góc (ABCD)

Tam giác SCD có . Do đó t/giác SIJ 2 2 CD a SJ   2 2 2 3 ; ; 2 a SI IJ a SI SJ IJ     

là tam giác vuông tại S =>

3 . . 3 2 2

4

a a SI SJ a SH IJ a   

3 2 1 1 3 3 . . . . 3 3 4 12 SABCD ABCD

a a V SH S a   

A C

B

S

L

N

E

L'

M

ThuVienDeThi.com

NH – 378 – 135

2) Gọi P là tr/điểm AS => SA v/góc BP (t/giác SAB đêu) SA v/góc BM =>SA v/góc (BPM) Gọi P, Q lần lượt là tr/điểm AS và AJ => PQ là đ/t/bình t/giác ASJ => SJ // PQ. Mặt khác, t/giác SAJ có:

2 2 2 2

4 a SA SJ a   

vuông tại S

2

2 5

4 a AJ   ASJ :

=> AS v/góc SJ => AS v/góc PQ Lại có: AS v/góc BP (t/giác SAB đều) => AS v/góc (BPQ) => AS v/góc BQ, lúc đó M là giao điểm BQ và CD.

AB // JM => . Trong t/giác vuông 1 JM QJ JM AB a AB QA     2 2 a a JD DM   

ADM có:

2 2 2 2 5 4 2 a a AM AD DM a     

3) AB và SC là 2 đ/thẳng chéo nhau. Ta có:   // AB CD SCD      // ; AB SCD SC SCD     , d AB SC 

.Theo câu (1) IS v/góc SJ và AB v/góc (SIJ), AB // CD          , , d AB SCD d I SCD 

nên

CD v/góc (SIJ) => CD v/góc IS. Từ đó IS v/góc (SCD) => IS = d (I, (SCD)) = 3 2 a

Vậy d(AB, SC) = SI = 3 2 a

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ANCD là hình vuông với AB = 2a. Tam giác SAB vuông tại S, mp(SAB) mp(ABCD). Biết góc tạo bởi đường thẳng SD và mp(SBC) bằng   với

sin = . Tính VS.ABCD và khoảng cách từ C đến (SBD) theo a.  1 3 GIẢI:

  , SAB ABCD BC AB  

, mà   BC SAB BC SA    

.   SA SB SA SBC   

Gọi d là k/cách từ D đến (SBC)

=> d = SD.sin =  3 SD

Mặt khác: AD // (SBC) => d (D,(SBC))=

D (A, (SBC)) => d = SA => SA = …