Bài tập Nguyên hàm Tích phân

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Phần A: NGUYÊN HÀM

Bài 1. Nguyên hàm cơ bản và mở rộng theo công thức: 1 f(ax b)dx F(ax b) a    

a. 9 (2x 3) dx   b. 4 1 dx (4 3x)   c. 5x 17dx   d. 6 10 7xdx  

e.

3 2 dx (2x 1)   f. 3 dx 1 2x   g. 2 12 dx (3x 4)   h. 7 6x e dx  

i.

3x 2

2x 3 2 3e dx e



   j. cos(5x 8)dx   k. 2 sin (3x 1)dx   ℓ. 2 2 9 4 ( )dx sin 3x cos 2x  

Bài 2. Nguyên hàm các hàm hữu tỉ có mẫu là đa thức bậc nhất hoặc bậc hai

a. x 3 dx x 2    b.

2 2x 5dx x 2    c. 2 dx (x 1)(x 1)    d. 5 dx (2x 3)(4 x)   

e. 2 4 dx 25 4x   f. 2

4 dx 4x 5x 1     g. 2

2x 1 dx x x 2     h. 2

x 5 dx x 2x 1    

i. 2 4x 9 dx 2x 3x 1     j.

2

2 4x 4x dx x 2x 3     k.

2

2

8x dx 4x 4x 1    ℓ. 2

3 dx x 4x 7   

m. 2

2x 3 dx x 6x 12     n.

2

2 x 6x 7 dx x 2x 5      p.

3

2

x dx x x 1   

Bài 3. Nguyên hàm các hàm hữu tỉ với đa thức bậc cao

a. 3

dx x 8   b. 4 2 4 dx x 5x 4    c. 4 2 2x dx x 2x 1    d.

3

4 2 2x dx x 4x 3   

e. 2 2 dx x(x 1)   f. 9 16 dx x(1 x )   g. 4 2xdx x 4   h.

2

3 x 7 dx (x 1) 8    

Bài 4. Tìm các nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến

a. 2 3 5 9x (x 6) dx   b. 3 4 3 x 16 x dx   c.

2 x 2 2 xdx   d. 2 3 3 (log x) dx x

e. 2 2 1 sin( )dx x x  f.

3 ln x dx x(lnx 1)   g. 3 sin 2xcos2xdx  h. 4 sin2xcos xdx 

i. 2 (cosx sinx)dx (sinx cosx) 

  j. sin2x 4cosx 3dx   k.

2x

x 2e dx 1 e   ℓ.

x x

x x e e dx e e



   

m. 2 4tan 2xdx  n. (1 tanx)dx   p. 4 dx cos x  q. 4 tan xdx 

r. x dx 1 2   s. 2 dx xln x  t. 3 sin xdx  u.

2

2 ln(2x 4x 1) dx 4x 1

 

 

Bài 5. Tìm các nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến

a. 2 x 3 2xdx   b. sin 2x dx x  c.

5

6 3 x dx x x 2    d.

3 1 x dx x  

e. 2 5 x (1 x) dx   f. dx 1 x   g. 2 sinx tan xdx  h. (2sinx 3)cosx dx 2 sinx   

i.

2 2 2 2 sin2xdx

a sin x b cos x   (a² + b² > 0) j.

5

3 2 x dx (1 x )   k. 1 dx cosx 

ℓ. 1 dx sinxcosx  m. 1 dx 1 cosx   n. 1 dx 1 2cos2x   o. 1 dx 3 sin2x  

Bài 6. Tìm các nguyên hàm bằng phương pháp từng phần a. x 1 (2x 3)e dx    b. (x 1)cosxdx   c. 2 x lnxdx  d. xln(x 2)dx  

ThuVienDeThi.com

e. x xe dx   f. 2 2 (3x 1)ln(x 1)dx    g. 2 2xsin xdx  h. 2 xdx cos x 

i. 2 2ln(x x 4)dx    j. 1 x xln dx 1 x    k. 2 x sin2xdx  ℓ.

2 3 x x e dx 

m. x sin2xe dx  n. sin(lnx)dx  o. 2 ln xdx  p.

2

2 xln(x 1 x ) dx 1 x

 

 

q.

2

2 ln x dx x  r. x 2 cosx 1 ( )e dx sin x sinx   s.

2

2 1 2x dx 1 x



 

Bài 7. Tìm hàm số f(x) biết f′(x) = 2sin x – 3cos x và f(π/2) = 0 Bài 8. Tìm hàm số f(x) biết f′(x) = x + 1/x² và f(–1) = 1/2 Bài 9. Tìm hàm số f(x) thỏa mãn f″(x) = 12x² + 6x – 4; f(0) = 4; f(1) = 1. Bài 10. Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) = xsin x biết F(0) = 0.

Bài 11. Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) =

2 1

1 x 

biết F(0) = 1.

Bài 12. Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) =

2

2 x 2x m x   biết F(x) đạt cực trị tại x = 2 và F(2) = 3.

PHẦN B: TÍCH PHÂN Bài 1. Tích phân có dấu giá trị tuyệt đối

a.

1

2

0

| 4x 1|dx   b.

2

2

0

| 2x 3x |dx   c.

3

2

0

| x 3x 2 |dx    d.

4

4 3 2

0

x 4x 4x dx   

e.

2

2

(| x 1| | x 1|)dx



    f.

1

2

3 |1 |dx x 3 

   g.

0

π 2

1 sin2xdx



  h.

0

2 π 4

sinx dx 1 tan x   

Bài 2. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến

a.

2

2

0

x 4 x dx   b.

1

4

0

x(2x 5) dx   c.

1

2 0

x dx x 3   d.

1

2 0

2x 1 dx x x 1



  

e.

3 2

1

1 x dx x   f.

π

2 0

xsinx dx 1 cos x   g.

ln2

2x x

0

e e 1dx   h.

π/3

3 π/4

1 dx sinxcos x 

i.

π/2

0

1 dx 1 sinx   j.

4

3

0

x 8 2xdx   k.

1

15 8

0

x 2x 1dx   ℓ.

2

4 0

4xdx x 4  

m.

π/2

2

π/6

cosxcot xdx  n.

π/2

3

0

(cos x 1)dx   o.

π

0

2 2cosxdx   p.

π/2 3

0

4sin x dx 1 cosx  

q.

x ln2

x e

0

e dx   r.

7 e 3

1

1 lnx lnx dx x   s.

64

3 1

1 dx x 2 x   t.

7

2 3 1

2x dx 1 x 1   

Bài 3. Tính tích phân bằng phương pháp đặt hàm lượng giác:

a.

4

2

0

16 …