Nguyên hàm Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12

Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093

Trang 1

CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

CHỦ ĐỀ 1 NGUYÊN HÀM

I. Định nghĩa:

Giả sử liên tục trên khoảng , khi đó hàm số là một nguyên hàm của hàm số  y f x    ,a b  y F x 

khi và chỉ khi , .  y f x  '( ) ( ) F x f x    , x a b 

Nếu là một nguyên hàm của hàm số thì ,  y F x   y f x  f ( x )dx F( x ) C    C A

II. Vi phân:

Giả sử xác định trên khoảng và có đạo hàm tại điểm .  y f x    ,a b   , x a b 

Vi phân của hàm số là:  y f x   ' . dy f x dx 

Quan hệ giữa đạo hàm  nguyên hàm và vi phân:

             f x dx F x c F x f x dF x f x dx

III. Các tính chất của nguyên hàm

1. Nếu là hàm số có nguyên hàm thì : ;  f x     

 f x dx f x       d f x dx f x dx

2. Nếu có đạo hàm thì:  F x     d F x F x C   

3. Phép cộng, phép trừ:     f x g x dx f x dx g x dx          

4. Phép nhân với một hằng số thực khác 0: , k  0      kf x dx k f x dx

IV. Phương pháp tính nguyên hàm:

1. Phương pháp đổi biến số:

Nếu và có đạo hàm liên tục thì: ( ) ( ) f u du F u C    ( ) u u x      ( ) . '( ) ( ) f u x u x dx F u x C   

2. Phương pháp từng phần

Nếu hai hàm số và có đạo hàm liên tục trên K thì:  u u x   v v x 

   u x .v' x dx u x .v x u' x .v x dx    

Hay: u.dv u.v v.du    

V. Nguyên hàm của một số hàm thường gặp

Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của những hàm số hợp

Nguyên hàm của những hàm số thường gặp

C x dx   

  1 1

1

   

   

  C x dx x

C u du   

  1 1

1

   

   

  C u du u

   C b ax a b ax d     

1

      1 1 1 1

     

   

  C b ax a dx b ax

C x xdx    sin cos

C x xdx     cos sin

C u udu    sin cos

C u udu     cos sin

   C b ax a dx b ax      sin 1 cos

ThuVienDeThi.com

Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093

Trang 2

C x dx x

   tan cos

1

2

C x dx x

    cot sin

1

2

C u du u

   tan cos

1

2

C u du u

    cot sin

1

2

   C b ax a dx b ax       cos 1 sin

   C b ax a dx b ax

     tan 1 cos

1

2

   C b ax a dx b ax

      cot 1 sin

1

2

  0 ln     x C x x dx

C e dx e x x   

  1 0 ln      a C a a dx a

x x

  0 ln     u C u u du

C e du e u u   

  1 0 ln      a C a a dx a

u u

  0 ln 1       x C b ax a b ax

dx

C e a dx e b ax b ax     

1

  1 . 0 1 ln

x x a a dx C a a

   



      

V. Nguyên hàm mở rộng

      C x x dx x 1 1 ln . 2 1 . 1 1

2 C a x

a x a dx a x       ln . 2

1 . 1

2 2 ) 0 (  a

    C x dx x arctan . 1 1

2 ) 0 ( arctan . 1 . 1

2 2      a C a

x a dx a x    

C x dx x

arcsin 1

1

2    

C a

x dx x a

arcsin 1

2 2 ) 0 (  a

C x x dx x

      1 ln 1

1 2

2 C a x x dx a x

     

2 2

2 2 ln 1

      C a

x a x a x dx x a arcsin 2 . 2

2 2 2 2 2

.         C a x x a a x x dx a x 2 2 2 2 2 2 2 ln 2 . 2  dx b a

b a dx b a

a

x

x

x

x

. .

'       C b a a b

x    ln . ln .

1

;     C x dx x cos ln . tan     C x dx x sin ln . cot

VẤN ĐỀ 1 Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm

Để sử dụng phương pháp này cần phải:

+ Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng nguyên hàm cơ bản. + Nắm vững bảng các nguyên hàm. + Nắm vững phép tính vi phân (phần này học lớp 11)

Cho hàm số: xác định trên và có đạo hàm tại .  y f x    ;a b   ; x a b 

Vi phân của hàm số trên là:  ' . dy f x dx 

Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:  F x  f x

a) b) c) 

3 1 3 f x x x x    

3 4 3 2 1 4 2 4 f x x x x x       

5 5 3 f x x  

ThuVienDeThi.com