Phương trình lượng giác - Cơ bản và nâng cao

Chương 1

Phương trình lượng giác - Cơ bản

1.1 Công thức lượng giác

1.1.1 Bảng lượng giác

α 0 π 6

π 4

π 3

π 2 π

sinα 0 1 2

p

2 2

p

3 2 1 0

cosα 1

p

3 2

p

2 2

1 2 0 −1

tanα 0

p

3 3 1

p

3 ∥ 0

cotα ∥

p

3 1

p

3 3 0 ∥

1.1.2 Công thức lượng giác cơ bản

• sin2x+cos2x = 1

• tanx = sinx cosx

• cotx = cosx sinx

• tanx.cotx = 1

• 1+tan2x = 1 cos2x

• 1+cot2x = 1

sin2x

1.1.3 Mất dấu trừ

• −cos(x) = cos(π−x)

• −sinx = sin(−x)

• −tanx = −tan(−x)

• −cotx = cot(−x)

1.1.4 Đổi chéo

• cosx = sin ³π

2 −x ´

• sinx = cos ³π

2 −x ´

• cotx = tan ³π

2 −x ´

• tanx = cot ³π

2 −x ´

1.1.5 Hơn kém nhau π

2

• −sinx = cos ³π

2 + x ´

• −cotx = tan ³π

2 + x ´

• −tanx = cot ³π

2 + x ´

• −cosx = sin ³ x−π

2

´

1.2 Công thức cộng

• sin(x+ y) = sinxcos y+sin ycosx

• sin(x−y) = sinxcos y−sin ycosx

• cos(x+ y) = cosxcos y−sinxsin y

• cos(x−y) = cosxcos y+sinxsin y

• tan(x+ y) = tanx+tan y 1−tanxtan y

• tan(x−y) = tanx−tan y 1+tanxtan y

1.2.1 Công thức nhân đôi

• sin2x = 2sinxcosx

• cos2x = cos2x−sin2x = 2cos2x−1 = 1−2sin2x

1 ThuVienDeThi.com

© by Nguyễn Hồng Điệp LATEX2015 12

• tan2x = 2tanx

1−tan2 x

• cos2x = 1+cos2x 2

• sin2x = 1−cos2x 2

1.2.2 Công thức nhân ba

• sin3x = 3sinx−4sin3x

• cos3x = 4cos3x−3cosx

• tan3x = 3tanx−tan3 x

1−3tan2 x

• cos3x = 3cosx+cos3x 4

• sin3x = 3sinx−sin3x 4

1.2.3 Tích thành tổng

• cosx.cos y = 1 2 [cos(x−y)+cos(x+ y)]

• sinx.sin y = 1 2 [cos(x−y)−cos(x+ y)]

• sinx.cos y = 1 2 [sin(x−y)+sin(x+ y)]

1.2.4 Tổng thành tích

• cosx+cos y = 2cos x+ y 2 cos x−y

2

• cosx−cos y = −2sin x+ y 2 sin x−y

2

• sinx+sin y = 2sin x+ y 2 cos x−y

2

• sinx−sin y = 2cos x+ y 2 sin x−y

2

• tanx+tan y = sin(x+ y) cosxcos y

• tanx−tan y = sin(x−y) cosxcos y

• cotx+cot y = sin(x+ y) sinxsin y

• cotx−cot y = sin(x−y) sinxsin y

• sinx+cosx = p

2sin ³ x+ π

4

´ = p

2cos ³ x−π

4

´

• sinx−cosx = p

2sin ³ x−π

4

´ = − p

2cos ³ x+ π

4

´

• 1+sin2x = (sinx+cosx)2

• 1−sin2x = (sinx−cosx)2

1.3 Phương trình lượng giác

1.3.1 Phương trình cơ bản

• sinx = sinu ⇔ · x = u + k2π x = π−u + k2π

• cosx = cosu ⇔ · x = u + k2π x = −u + k2π

• tan = tanu ⇔x = u + kπ

• cot = cotu ⇔x = u + kπ

1.3.2 Công thức nghiệm thu gọn

• sinx = 1 ⇔x = π 2 + k2π

• sinx = −1 ⇔x = −π 2 + k2π

• sinx = 0 ⇔x = kπ

• cosx = 1 ⇔x = k2π

• cosx = −1 ⇔x = π+ k2π

• cosx = 0 ⇔x = π 2 + kπ

1.4 Tập xác định

• Căn thức p

f (x)xác định ⇔f (x) ≥0

• Phân thức g(x) f (x)xác định ⇔f (x) ̸= 0

• Phân thức và căn thức g(x) p

f (x) xác định ⇔f (x) > 0

• y = sin f (x) xác định ⇔f (x) xác định.

• y = cos f (x) xác định ⇔f (x) xác định.

• y = tan f (x) xác định ⇔cos f (x) ̸= 0 ⇔f (x) ̸= π 2 + kπ

• y = cot f (x)xác định ⇔sin(x) ̸= 0 ⇔f (x) ̸= kπ.

1.4.1 Tìm tập xác định của hàm số

1. y = sin3x

2. y = cos 2

x

3. y = cos 2x

x−1

4. y = sin µ 2x

x−1

¶

5. y = sin 1 1−x2

6. y = cospx

2 ThuVienDeThi.com

© by Nguyễn Hồng Điệp LATEX2015 12

7. y = sin

r

1+ x 1−x

8. y = 3 2cosx

9. y = tan ³ x−π

6

´

10. y = cot ³ 2x−π

4

´

11. y = p

3−sinx

12. y = p

2−sinx

13. y = p

cosx+1

14. y = p

2−cosx

1.4.2 Tìm tập xác định các hàm số

1. y = 1−cosx

sinx+1

2. y =

r

sinx+2 cosx+1

3. y =

r

cosx+1 1−cosx

4. y = cotx cosx−1

5. y = sin(x−2) cos2x−cosx

6. y = 1 p

3cot2x+1

7. y = 1 tanx−1

8. y = 1 p

sinx+1

9. y = 2 cosx−cos3x

10. y = 3

sin2x−cos2x

11. y = tanx+cotx

12. y = 3sin2x+cosx

cos µ 4x+ 2π

5

¶ +cos ³ 3x−π

4

´

1.5 GTLN, GTNN của hàm sốlượng giác

• −1 ≤cosx ≤1, −1 ≤sinx ≤1

• 0 ≤cos2 x ≤,1 0 ≤sin2 x ≤1

• 0 ≤|cosx| ≤1, 0 ≤|sinx| ≤1

• −1 ≤cosx ≤1 ⇔−1 ≤−cosx ≤1

• −1 ≤sinx ≤1 ⇔−1 ≤−sinx ≤1

1.5.1 Tìm GTLN, GTNN của

1. y = 2sinx+3

2. y = 2sin ³ x+ π

4

´ +1

3. y = 3−2sinx

4. y = 1−2cos ³ x+ π

6

´

5. y = 4sinpx

6. y = 2pcosx+1

7. y = 2 p

cosx+1−3

8. y = p

sinx

9. y = q

1−sin ¡ x2¢ −1

10. y = ¯¯¯sin ³ 3x+ π

4

´¯¯¯

11. y = 3−2|sinx|

12. y = 1+4cos2x

3

13. y = 2sin2x−2cos2x

14. y = cos2x+2cos2x

15. y = p

5−2cos2x.sin2x

16. y = 4sin2x−4sinx+3

17. …