Đề thi olympic toán sinh viên năm 2014 môn thi Đại số

HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM ĐỀTHI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN NĂM 2014 Môn thi: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút

Bài 1. a) Chứng minh rằng:

det



  

1 a1 a1(a1 −1) a1(a1 −1)(a1 −2) 1 a2 a2(a2 −1) a2(a2 −1)(a2 −2) 1 a3 a3(a3 −1) a3(a3 −1)(a3 −2) 1 a4 a4(a4 −1) a4(a4 −1)(a4 −2)



  = Y

1≤i<j≤4 (aj −ai).

b) Giảthiết a1, a2, a3, a4 là các sốnguyên, chứng minh Y

1≤i<j≤4 (aj −ai) chia hết cho 12.

Bài 2. Cho các sốthực phân biệt a1, a2, a3. Chứng minh rằng với mọi bộsốthực b1, b2, b3 tồn tại duy nhất một đa thức P (x) bậc không quá 5 thỏa mãn: P (ai) = P ′(ai) = bi, i = 1, 2, 3, ở đây P ′ ký hiệu đạo hàm của đa thức P .

Bài 3. a) Ký hiệu V4 là không gian vec tơ các đa thức với hệsốthực với bậc không quá 4. Định

nghĩa ánh xạe : V4 →V4 như sau: với mỗi đa thức f ∈V4, e(f) :=

4 X

i=0

f (i)

i! , trong đó f (i) ký

hiệu đạo hàm bậc i của f, (f (0) = f). Chứng minh rằng e là một ánh xạtuyến tính khảnghịch từV4 vào chính nó.

b) Ký hiệu V là không gian vec tơ các đa thức với hệsốthực. Với mỗi đa thức f, đặt e(f) := ∞ X

i=0

f (i)

i! . Chứng minh rằng e là một ánh xạtuyến tính khảnghịch từkhông gian V vào chính nó.

Bài 4. a) Cho ma trận khối X = Em B

C En

được tạo thành từcác ma trận đơn vịEm, En cấp

m, n tương ứng và các ma trận B, C với kích thước m × n và n × m tương ứng. Chứng minh rằng det(X) = det(En −CB) = det(Em −BC).

b) Tổng quát, cho ma trận khối X = A B

C D

, trong đó A, D là các ma trận vuông, A khả

nghịch, chứng minh rằng det(X) = det(A) det(D −CA−1B).

Thí sinh chọn một trong hai câu của bài sau:

Bài 5. a) Cho P là một đa thức bậc n với hệsốhữu tỷ. Giảsửsốthực a là một nghiệm của P với bội > n/2. Chứng minh rằng a là một sốhữu tỷ.

b) Trên hình vuông ABCD ta định nghĩa đường đi giữa hai đỉnh X, Y (không nhất thiết phân biệt) là một dãy các đỉnh kềnhau XX1X2 . . . Xn−1Y : như vậy X0 = X, X1, . . . , Xn−1, Xn = Y là các đỉnh của hình vuông và XiXi+1 là cạnh của hình vuông, sốn được gọi là độdài của đường đi. Với mỗi sốtựnhiên n, gọi xn, yn, zn tương ứng là sốcác đường đi độdài n giữa: một đỉnh và chính nó, một đỉnh và một đỉnh cốđịnh kềnó, một đỉnh và đỉnh đối diện (đỉnh đối xứng qua tâm). Ví dụ, x0 = 1, y0 = 0, z0 = 0, x1 = 0, y1 = 1, z1 = 0, x2 = 2, y2 = 0, z2 = 2. 1) Thiết lập công thức truy hồi cho xn, yn, zn; 2) Tìm công thức tổng quát của xn, yn, zn.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ghi chú: Cán bộcoi thi không giải thích gì thêm. ThuVienDeThi.com

Bài 1. a) Chứng minh rằng:

det



  

1 a1 a1(a1 −1) a1(a1 −1)(a1 −2) 1 a2 a2(a2 −1) a2(a2 −1)(a2 −2) 1 a3 a3(a3 −1) a3(a3 −1)(a3 −2) 1 a4 a4(a4 −1) a4(a4 −1)(a4 −2)



  = Y

1≤i<j≤4 (aj −ai).

b) Giảthiết a1, a2, a3, a4 là các sốnguyên, chứng minh Y

1≤i<j≤4 (aj −ai) chia hết cho 12.

Giải. a) Gọi C1, . . . , C4 là các cột của ma trận đã cho. Đặt C′ i = (ai−1 1 , . . . , ai−1 4 ). Thếthì ta dễdàng thấy rằng Ci = C′ i+ tổhợp tuyến tính của các C′ 1, . . . , C′ i−1.

Từđó suy ra định thức cần tính bằng định thức của ma trận được tạo thành từcác cột C′ 1, . . . , C′ 4.

Đây là định thức Vandermonde quen thuộc và do đó giá trịcần tìm bằng

det(C′ 1, . . . , C′ 4) = Y

1≤i<j≤4 (aj −ai).

b) Trong ma trận ban đầu, mỗi hệsốtrên cột thứ3, 4 tương ứng là tích của 2, 3 sốnguyên liên tiếp, do đó chia hết cho 2!, 3!. Từđó suy ra điều phải chứng minh.

ThuVienDeThi.com