Hệ có cấu trúc đặc biệt

LTĐH Chất Lượng Cao 75/14B Nguyễn Thị Minh Khai -NT

Bài số 3. HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT Trong những năm gần đây , đề thi đại học về Hệ phương trình đại số thường hay ra dạng hệ có cấu trúc khá đặc biệt . Vì vậy cho nên ta phải ngiên cứu cách giải chúng . Thông thường ta có một số phương pháp sau

I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Là phương pháp chủ yếu dùng kỹ năng biến đổi hai phương trình của hệ đưa về các phương trình đơn giản có thể rút x theo y hoặc ngược lại để thế vào phương trình khác của hệ . Ta xét một số ví dụ sau 1. Loại 1: Trong hệ có một phương trình bậc nhất theo ẩn x hoặc theo ẩn y. Khi đó ta rút x theo y hoặc y theo x thay vào phương trình còn lại .

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình :     

2 2

2 1 1 3 4 1 1

1 2

x y x y x x

xy y x

          

Giải Ta thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình (2) cho nên từ phương trình (2) ta có : thay vào phương trình (1) ta có :  

2 1 1 1 1 y x x y x y x              2 2 3 2 3 4 1 1 2 2 1 1 3 1 x x x x x x x x x x x x                  3 2 2 1 2 2 4 0 1 2 0 0; 1; 2 x x x x x x x x x x x              

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình :    

2 5

3 4

x y xy x y xy

        

Giải Ta có x=y=0 là một nghiệm của hệ . Các cặp số (x;y) với không 0, 0; 0, 0 x y x y     là nghiệm của hệ .

Xét chia hai vế phương trình cho ta được : 0 xy  0 xy 

1 1 2 5

1 1 3 4

x y x y

x y x y

            Suy ra : thay vào phương trình thứ hai ta có : 5 2 4 3 2 1(*) x y y x x y         2y-1+y+y(2y-1)(5y-3)=4(2y-1)y      2 2 3 2 2 3 1 10 11 3 8 4 10 19 10 1 0 1 10 9 1 0 y y y y y y y y y y y y               

9 41 9 41 1; ; 20 20 y y y      

Đáp số : (x;y)= 9 41 41 1 9 41 41 1 1;1 , ; ; ; 20 10 20 10

                 2. Loại 2. Một phương trình của hệ đưa về dạng tích của hai phương trình bậc nhất hai ẩn . Khi đó ta dưa về giải hai hệ tương đương .

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình : 



2 2 2 1

2 1 2 2 2

xy x y x y

x y y x x y

         

Giải

ThuVienDeThi.com

Bài 3: HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT

Th.s Nguyễn Dương ĐT: 0932528949 Trang 2

Điều kiện : 0, 1 x y  

Phương trình (1)    2 1 0 2 1 x y x y x y x y           Ta thay làn lượt từng trường hợp một vào phương trình (2) .Giải ra kết quả

Ví dụ 2. ( ĐH-KA-2011) . Giải hệ phương trình sau :        

5 2 3

2 2 2 5 4 3 2 0 1

2 2

x y xy y x y

xy y x y

            Hướng dẫn Từ (2) ta có :    2 2 2 2 1 2 0 1 2 xy x y xy x y        

 xy=1; từ (1) suy ra : . Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(1;1),(- 4 2 2 1 0 1 y y y     1;-1).  Với :      2 2 2 2 2 2 2 1 3 4 2 2 0 x y y x y xy x y x y             2 2 6 4 2 2 0 y xy x y x y          1 2 0 1 2 xy y x xy x y        Xét : xy=1 . Đã giải ở trên

Với : x=2y , thay vào   2 2 2 10 10 2 10 10 2 ; ; , ; 5 5 5 5 x y x y                  

Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(1;1),(-1;-1), 2 10 10 2 10 10 ; , ; 5 5 5 5

             

Ví dụ 3. Giải hệ sau :  

2 2 1 1

1 2

x y x y x y

x y

      

  

Giải Điều kiện : . 0; 0 x y   (1) . Suy ra hệ trở thành :    1 1 0 x y x y      

   

1; 0 1

0 1 1 ; 1;0 ; 0;1 1 1 1 0

x y x y

x x y y x y x y x x y y

                                          

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình : 



3 3 1

3 2

y x y x x x y x x

            

Giải Điều kiện : x>0; . 3 y 

Ta có : . Suy ra :  3 3 1

3 y y

x x y

        Với y=3 ; ta có : ( loại ) 2 3 0 3 x x    

ThuVienDeThi.com