Tọa độ các điểm đặc biệt trong tam giác

TOÁN HỌC 3[K] – THẦY LÂM PHONG

Group Toán 3[K] – Kiến thức – Kỹ năng – Kinh nghiệm 1

Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;6), B(-3; -4), C(5;0).

a. Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H của ABC. b. Tìm tọa độ I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC. c. Tìm tọa độ D là giao điểm của đường thẳng BC và đường phân giác ngoài của góc A. d. Tìm tọa độ J là tâm đường tròn nội tiếp ABC. e. Tìm tọa độ K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của ABC.

(ĐS:   4 2 1 ; , 5;0 ,I ;1 , (17;6), (2;1), (2; 9) 3 3 2               G H D J K )

a. Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H của ABC

■ Phân tích tìm lời giải:

● Không quá khó để tìm tọa độ G do đã biết cả 3 tọa độ của 3 đỉnh A, B, C ● Để tìm tọa độ điểm H ta dựa vào tính chất của trực tâm  AH  BC và BH  AC  chuyển về tích vô hướng giữa 2 véctơ để giải  tìm được tọa độ H. ► Hướng dẫn giải:

* Do G là trọng tâm ABC nên ta có:

A B C G

A B C G

x x x 2 3 5 4 x 4 2 3 3 3 G ; y y y 6 4 0 2 3 3 y 3 3 3

                        

* Gọi H(x H; y H) là tọa độ trực tâm của ABC  AH BC

BH AC

    

(*) với

AH (x 2;y 6)

BH (x 3;y 4)

BC (8;4)

AC (3; 6)

    

          

Do đó (*)  AH.BC 0 8(x 2) 4(y 6) 0 x 5 H(5;0) 3(x 3) 6(y 4) 0 y 0 BH.AC 0

                        

b. Tìm tọa độ I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC ■ Phân tích tìm lời giải:

Để tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ABC khi đã biết tọa độ của 3 đỉnh A, B, C ta có thể giải theo 3 cách sau:

● Cách 1: Gọi tọa độ I(x;y), vận dụng định nghĩa của tâm I là cách đều ba đỉnh tam giác

 IB IC

IB IA

    

● Cách 2: Lập pt d 1, d 2 lần lượt là phương trình trung trực của cạnh AB, BC ta có d 1  d 2 = I (vận dụng cách dựng tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của các đường trung trực) .

ThuVienDeThi.com

TOÁN HỌC 3[K] – THẦY LÂM PHONG

Group Toán 3[K] – Kiến thức – Kỹ năng – Kinh nghiệm 2

● Cách 3: Gọi dạng khai triển của pt đường tròn (C) ngoại tiếp ABC: 2 2 x y 2ax 2by c 0     , trong đó I(a;b) chính là tọa độ cần tìm. Lần lượt thay tọa độ A, B, C vào pt khai triển  giải hệ 3 pt 3 ẩn tìm I.

● Cách 4: Ta cũng có thể vận dụng quan hệ thẳng hàng giữa trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp I đó chính là IH 3IG  (H và G là tọa độ đã tìm được ở câu a). ● Cách 5: Ta cũng có thể gọi M là trung điểm BC, dựa vào tính chất AH 2IM   giải tìm I. ● Cách 6: Bằng cách tính tất cả các cạnh để kiểm tra ABC có là tam giác đặc biệt ? + Giả sử: ABC vuông tại A thì trung điểm cạnh huyền BC chính là tâm I + Giả sử: ABC đều thì trọng tâm G của tam giác ABC chính là tâm I + Giả sử: ABC cân tại A có góc BAC 120  thì tâm I chính là đỉnh thứ 4 của hình thoi ACDB.

► Hướng dẫn giải cách 1:

* Gọi I(x I; y I) là tọa độ tâm đường tròn ngoài tiếp ABC  IB IC IC IA     

(*)

* Với

I I

I I

I I

AI (x 2;y 6)

BI (x 3;y 4)

CI (x 5;y )

            

do đó (*) 

2 2

2 2 CI BI

CI AI

    



2 2 2 2 I I I I 2 2 2 2 I I I I

(x 5) y (x 2) (y 6)

(x 5) y (x 3) (y 4)

              



I I I

I I I

10x 25 4x 4 12 y 36

10x 25 6x 9 8y 16

             

(nhận xét x I2 ; y I2 đều bị triệt tiêu nên ta khai triển

nhanh)



I I I

I I

I

1 6x 12 y 15 x 1 I ;1 2 16x 8y 0 2 y 1

                         

► Hướng dẫn giải cách 2: Gọi d 1, d 2 lần lượt là trung trực của cạnh AB, BC

* Gọi 1 M ;1 ,N(1; 2) 2        

lần lượt là trung điểm AB, AC.

* Ta có d 1 qua 1 M ;1 2       

nhận AB ( 5; 10)   làm vtpt có dạng là :

ThuVienDeThi.com