Tiểu luận Ứng dụng Tích phân - Nguyễn Thùy Trang

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM

KHOA VẬT LÝ

HỌC PHẦN GIẢI TÍCH 1

TIỂU LUẬN

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

  

Họ tên: Nguyễn Thùy Trang Lớp: Sư phạm Lý A K42 MSSV: 42.01.102.118

TP.HCM, 11/2016

ThuVienDeThi.com

Chuyên đề ứng dụng tích phân này có nội dung gồm 3 phần: Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng ,Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay và một số bài toán tổng hợp.

I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG:

1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong:

Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) và các đường thẳng x = a; x = b; y = 0 được tính theo công thức:

(1)

Để khử dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức f(x) ta thường thực hiện:

Cách 1: Sử dụng “định lí về dấu của nhị thức bật nhất”và “định lí về dấu của tam thức bậc hai” để xét dấu các biểu thức f (x).

( Chú ý: Nếu f (x) không đổi dấu trên [a ; b] thì ta có: )

Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn để suy ra dấu của f (x)

trên đoạn đó .

- Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f (x) nằm phía dưới trục hoành thì

- Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía trên trục hoành thì

Nếu phương trình f(x) = 0 có k nghiệm phân biệt x1 , x2 , …, xk thuộc (a ; b) thì trên mỗi khoảng (a ; x1 ) , (x1 ; x2) , …, (xk ; b) biểu thức f(x) có dấu không đổi .

ThuVienDeThi.com

Khi đó để tính tích phân ta có thể tính như sau :

Ví dụ 1: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , đường thẳng x=3, trục tung và trục hoành.

Giải: Đặt . Ta thấy trên và trên . Theo công thức (1), diện tích S của hình đang xét là:

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành, đường thẳng x =-3 và đường thẳng x= 4.

Giải: Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm x = -2, x = 0, x= 2.

Cách 1: Lập bảng xét dấu ta có:

trên và trên

Khi đó diện tích S của hình đang xét là:

ThuVienDeThi.com

Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số:

Vẽ đồ thị hàm số: .

Dựa vào đồ thị ta có:

** Nếu miền phẳng D giới hạn bởi đường cong có phương trình cho dưới dạng

toạ độ cực.

Liên hệ giữa toạ độ Descartes và toạ độ cực là: . Khi đó:

Ví dụ 3: Hãy tính diện tích của hình giới hạn bởi trục hoành và một nhịp của đường Cycloid, cho bởi phương trình tham số:

ThuVienDeThi.com

Ví dụ 4: Tính diện tích của hình trái tim giới hạn bởi đường Cardioid (đường trái tim), trong hệ tọa độ cực cho bởi phương trình: r = a(1 + cos )

Giải: Do tính đối xứng của hình qua trục Ox, vậy:

**Nếu đường cong cho bởi phương trình tham số thì công thức

trở thành trong đó t1, t2 lần lượt là nghiệm của các

phương trình và là các hàm số liên tục trên đoạn [t1; t2]

ThuVienDeThi.com

2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong và hai đường thẳng

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số liên tục

trên đoạn và hai đường thẳng , ta có công thức sau:

Trong công thức trên:

Trường hợp hình 1. ta có công thức khai triển của S:

nếu

ThuVienDeThi.com

Trường hợp hình 2. ta có công thức khai triển của S:

nếu

Trường hợp hình 3. ta có công thức khai triển của S:

S =∫?

?|?(?) ― ?(?)|?? = ∫?

?|?(?) ― ?(?)|?? +∫?

?|?(?) ― ?(?)|??

( trong đó c là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hai hàm số )

Một cách thức chung người ta thường thực hiện các bước sau:

Bước1: Nếu hai đường đề bài cho thiếu một hoặc cả hai

thì giải phương trình để tìm.

Bước 2: Áp dụng công thức (2).

Bước 3: Rút gọn biểu thức , sau đó xét dấu của hiệu này.

Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân và áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàn số

và hai đường thẳng x =-1, x= 3.

Giải: Trước hết ta tìm hoành độ giao điểm các đồ thị của hai hàm số đã cho. Ta có

phương trình hoành độ giao điểm: .

Khi đó ta có

ThuVienDeThi.com