Luyện tập các bài toán ứng dụng (Có đáp án)

47

Nhóm 1: Bài toán về quãng đường Câu 1. Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ một điểm A trên bờ đến một điểm B trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6km. Giá để xây đường ống trên bờ là 50.000USD mỗi km, và 130.000USD mỗi km để xây dưới nước. B’ là điểm trên bờ biển sao cho BB’ vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến B’ là 9km. Vị trí C trên đoạn AB’ sao cho khi nối ống theo ACB thì số tiền ít nhất. Khi đó C cách A một đoạn bằng: A. 6.5km B. 6km C. 0km D.9km Hướng dẫn giải Đặt

Chi phí xây dựng đường ống là

Hàm , xác định, liên tục trên và

; ;

Vậy chi phí thấp nhất khi . Vậy C cần cách A một khoảng 6,5km.

Câu 2. Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí có khoảng cách đến bờ biển .Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí cách một khoảng .Người canh hải đăng có thể chèo đò từ đến trên bờ biểnvới vận tốc rồi đi bộ đến với vận tốc .Vị trí của điểm cách B một khoảng bao nhiêu để người đó đi đến kho nhanh nhất?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải Đặt .

Ta có: Thời gian chèo đò từ đến là:

Thời gian đi bộ đi bộ đến là:

Thời gian từ đến kho

Khi đó: , cho

Lập bảng biến thiên, ta thấy thời gian đến kho nhanh nhất khi

Câu 3. Đường dây điện 110KV kéo từ trạm phát (điểm A) trong đất liền ra Côn Đảo (điểm C). biết khoảng

cách ngắn nhất từ C đến B là 60km, khoảng cách từ A đến B là 100km, mỗi km dây điện dưới nước

' ( ) , [0;9]   x B C km x

2 36; 9     BC x AC x

2 ( ) 130.000 36 50.000(9 ) ( )     C x x x USD

( ) C x [0;9]

2 13 '( ) 10000. 5 36

        

x C x

x

2 '( ) 0 13 5 36     C x x x 2 2 2 25 5 169 25( 36) 4 2        x x x x

(0) 1.230.000  C 5 1.170.000 2       C (9) 1.406.165  C

2,5  x

A 5 AB km  C B 7km A M 4 / km h C 6 / km h M

0km 7km 2 5 km  14 5 5 km 12

( ) 7 ( ) BM x km MC x km = Þ = - ,(0 7) x < <

A M

2 25 ( ). 4 AM

x t h  

C 7 ( ) 6 MC

x t h  

A

2 25 7 4 6 x x t    

2

1 6 4 25

x t

x   

0 2 5 t x   

2 5( ). x km =

9km

6km

đảo

bờ biển

biển

A

B

B'

LUYỆN CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG

ThuVienDeThi.com

48

C

B A G

chi phí là 5000 USD, chi phí cho mỗi km dây điện trên bờ là 3000 USD. Hỏi điểm G cách A bao nhiêu để mắc dây điện từ A đến G rồi từ G đến C chi phí ít nhất. A: 40km B: 45km C: 55km D: 60km Hướng dẫn giải

Gọi

Ta có

Chi phí mắc dây điện:

Khảo sát hàm ta được: . Chọn B. Một màn ảnh chữ nhật cao 1,4 mét được đặt ở độ cao 1,8 mét so với tầm mắt (tính từ đầu mép dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải xác

định vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất. Hãy xác định vị trí đó ? ( gọi là góc nhìn) A. B. C. D. Hướng dẫn giải

Với bài toán này ta cần xác định OA để góc BOC lớn nhất. Điều này xảy ra khi và chỉ khi tanBOC lớn nhất. Đặt OA = x (m) với x > 0,

ta có tanBOC = tan(AOC - AOB) =

= = =

Xét hàm số f(x) =

Bài toán trở thành tìm x > 0 để f(x) đạt giá trị lớn nhất. Ta có

f'(x) = , f'(x) = 0 x = 2,4

Ta có bảng biến thiên

Vậy vị trí đứng cho góc nhìn lớn nhất là cách màn ảnh 2,4m. Câu 4. Từ cảng A dọc theo đường sắt AB cần phải xác định một trạm trung chuyển hàng hóa C và xây dựng một con đường từ C đến D. Biết rằng vận tốc trên đường sắt là v1 và trên đường bộ là v2 (v1< v2). Hãy xác định phương án chọn địa điểm C để thời gian vận chuyển hàng từ cảng A đến cảng D là ngắn nhất? Hướng dẫn giải

Gọi t là thời gian vận chuyển hàng hóa từ cảng A đến cảng D.

Thời gian t là: t = = =

= =

(0 100) 100 BG x x AG x      

2 2 2 3600 GC BC GC x    

2 ( ) 3000.(100 ) 5000 3600 f x x x     45 x 

· BOC 2,4 AO m  2 AO m  2,6 AO m  3 AO m 

tan tan 1 tan .tan AOC AOB AOC AOB  

2 . 1

AC AB OA OA AC AB

OA



 2

1,4

3,2.1,8 1

x

x 

2

1,4

5,76

x x 

2

1,4

5,76

x x 

2

2 2 1,4 1,4.5,76 ( 5,76) x x     

1 2

AC CD v v 

1 2

AE CE CD v v  

1 2 tan sin h h

v v   

 l

1 2

.cot

sin h h v v 

   l

A B C

D

E

h





0

f(x)

+ 2,4

+ _

193

84

0 0

0

x

f'(x)

B A C

D

E

h





O A

C

B

1,4

1,8

ThuVienDeThi.com