Một số kỹ thuật AM-GM

Phạm Quốc Sang

Một số kỹ thuật AM-GM

Phạm Quốc Sang - Học sinh K9 chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm Quảng Nam

I. Kỹ thuật chọn điểm rơi:

Đây là kỹ thuật rất quan trọng trong quá trình sử dụng bất đẳng thức Cauchy để giải toán. Dựa vào việc xác định điều kiện xảy ra đẳng thức, ta sẽ thêm bớt hay tách biểu thức cần chứng minh thành các nhóm hay biểu thức phù hợp.

Bài 1: Cho 3 a  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 1 2 P a a  

Sai lầm thường gặp: 3 2 2 1 1 3 . . 3 3 P a a a a minP a a       

Nguyên nhân: 2 1 3 1 minP a a a     vô lí do 3 a 

Phân tích: Ta xét một vài giá trị của a để dự đoán chiều biến thiên của P :

a 3 4 5 6 … 20 P 1 6 9 1 816 1 10 25 1 10 25 … 1 40 400

Từ bảng, ta nhận xét khi a tăng thì P tăng. Do đó, ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của P là 1 6 9

tại 3 a  .

Sơ đồ điểm rơi:

2

3 1 1 3 3 1 1 9 27 9

a a

a

 

            

Lời giải chi tiết: 3 2 2 1 52 1 52 55 3 . . .3 27 27 27 27 27 27 9 a a a a a P a a       

Suy ra 55

9 minP  khi 3 a 

Bài 2: Cho , , a b c là các số thực dương thỏa 1 a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 . P abc abc  

Sai lầm thường gặp: 1 2 . 2 2 P abc minP abc    

Nguyên nhân:

3 1 1 2 1 3 27 a b c minP abc abc abc

             

vô lí

ThuVienDeThi.com

Phạm Quốc Sang

Phân tích: P là biểu thức đối xứng theo ba biến , , a b c . Do đó, ta dự đoán 1 3 a b c    là

điều kiện xảy ra đẳng thức. Mặc khác, ta dễ nhận ra P có dạng 1 t t  với t abc  hoặc

1 t abc 

Ta có: 3 1 1 27

3

t abc a b c           

Do đó, ta quy bài toán về tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 P t t  với 27 t  .

Sơ đồ diểm rơi:

27 1 1 27 27 1 1 27 729 27

t t

t

 

           

Lời giải chi tiết: 1 728 1 728 730 2 . .27 729 729 729 729 27 t t t P t t     

Vậy 730

27 minP  khi 1 27 3 t a b c     

Lưu ý: Trong quá trình giải toán, ta rất ít khi gặp các bài toán có dạng đơn biến. Thay vào đó, ta thường xuyên gặp các biểu thức dạng đa biến phức tạp. Do đó, ta cần linh hoạt sử dụng các bất đằng thức phù hợp để đưa biểu thức cần chứng minh về một biến số rồi đánh giá.

Bài 3: Cho , , a b c là các số thực dương thỏa 1 a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 1 1 2 P a b c a b c          

Sai lầm thường gặp: 3 3 3 3 1 1 3 2.3 2 3 .2.3 6 2 P abc abc abc abc    

Suy ra 6 2. minP 

Nguyên nhân sai lầm: 3 3 3 1 1 6 2 2 2 3 3 a b c minP abc abc abc

         vô lí

Phân tích: Do P là đa thức đối xứng theo ba biến , , a b c nên ta dự đoán 1 3 a b c    là điều

kiện để xảy ra cực trị. Từ đây, ta có rất nhiều hướng để giải bài toán dựa vào việc phân tích điểm rơi.

Lời giải 1: Do vai trò của , , a b c trong P là tương tự nhau nên ta chỉ cần phân tích a sau đó làm tương tự với ,b c

ThuVienDeThi.com

Phạm Quốc Sang

Sơ đồ điểm rơi:

1

1 1 3 . 1 3 9

a

a a a

   

         

1 1 1 17 1 1 1 9 9 9 9

1 1 1 17 9 2 2 . 2 . 2 . . .3 17 19. 9 9 9 9 3

P a b c a b c a b c

a b c a b c a b c

                                

        

( Chú ý ta có bất đẳng thức 1 1 1 9 a b c a b c      )

Suy ra 19 minP  khi 1. 3 a b c   

Lời gải 2: Ta có: 9 18 2. . P a b c a b c a b c a b c            

Đặt 1 1. t t a b c    

Khi đó   1 18 1 . P t t t   

Ta có: 1 1 17 17 2 . 19. P t t t t t     

Suy ra 19 minP  khi 1 1 . 3 t a b c    

Lời giải 3: Ta có: 3

3

3 3 2. . P abc

abc  

Đặt

3

1 1 3 3

3

t a b c a b c abc      

Do đó, ta quy bài toán về tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 3 2 P t t        

với 3. t 

Sơ đồ điểm rơi:

1 1 1 1 3 3 . 3 3 9 3 t t

t

   

           

ThuVienDeThi.com