IMO 2015 Shortlist - Nguyễn Trung Tuân

//www.molympiad.blogsp

IMO 2015 Shortlist

Nguyễn Trung Tuân

Ngày 2 tháng 9 năm 2016

Tóm tắt nội dung

Trong tài liệu này tôi sẽdịch các bài toán từIMO 2015 Shortlist.

Mục lục

1 Đại số 2

2 Tổhợp 3

3 Hình học 5

4 Lý thuyết số 7

1

ThuVienDeThi.com

//www.molympiad.blogsp

IMO 2015 Shortlist Nguyễn Trung Tuân

1 Đại số

A1. Dãy a1, a2, . . . các sốthực dương thỏa mãn

ak+1 ≥ kak a2 k + (k −1)

với mọi sốnguyên dương k. Chứng minh rằng a1 +a2 +. . .+an ≥n với mọi n ≥2.

A2. Tìm tất cảcác hàm f : Z →Z sao cho

f(x −f(y)) = f(f(x)) −f(y) −1 ∀x, y ∈Z.

A3. Cho sốnguyên dương n. Tìm giá trịlớn nhất của X

1≤r<s≤2n (s −r −n)xrxs,

ởđây −1 ≤xi ≤1 với mỗi i = 1, · · · 2n.

A4. Tìm tất cảcác hàm f : R →R sao cho

f(x + f(x + y)) + f(xy) = x + f(x + y) + yf(x) ∀x, y ∈R.

A5. Kí hiệu 2Z+1 là tập các sốnguyên lẻ. Tìm tất cảcác hàm f : Z →2Z+1 sao cho

f(x + f(x) + y) + f(x −f(x) −y) = f(x + y) + f(x −y) ∀x, y ∈Z.

A6. Cho sốnguyên n ≥2. Ta nói hai đa thức P, Q với hệsốnguyên là đồng dạng khối nếu với mỗi i ∈{1, 2, . . . , n}, hai dãy

P(2015i), P(2015i −1), . . . , P(2015i −2014)

và Q(2015i), Q(2015i −1), . . . , Q(2015i −2014)

là hoán vịcủa nhau. (a) Chứng minh rằng tồn tại hai đa thức đồng dạng khối, khác nhau và có bậc n + 1; (b) Chứng minh rằng không tồn tại hai đa thức đồng dạng khối, khác nhau và có bậc n.

2

ThuVienDeThi.com

//www.molympiad.blogsp

IMO 2015 Shortlist Nguyễn Trung Tuân

2 Tổhợp

C1. ỞLineland có n ≥1 thịtrấn, được sắp xếp dọc một con đường từtrái sang phải. Mỗi thịtrấn có một xe ủi trái (đặt bên trái của thịtrấn và hướng sang trái) và một xe ủi phải (đặt bên phải của thịtrấn và hướng sang phải). Kích thước của 2n xe ủi là đôi một khác nhau. Tại mỗi thời điểm khi một xe ủi trái đối diện một xe ủi phải, xe lớn hơn sẽđẩy xe nhỏhơn ra khỏi đường. Mặt khác, các xe ủi sẽkhông được bảo vệđằng sau; vì vậy, nếu một xe ủi húc vào đuôi của xe khác thì nó sẽđẩy xe bịhúc ra khỏi đường. Cho A và B là hai thịtrấn, với B nằm bên phải A. Ta nói A có thểquét B biến mất nếu xe ủi phải của A có thểdi chuyển đến B và đẩy tất cảxe ủi mà nó gặp ra khỏi đường. Tương tự, B có thểquét A biến mất nếu xe ủi trái của B có thểdi chuyển tới A và đẩy tất cảxe ủi mà nó gặp ra khỏi đường. Chứng minh rằng có đúng một thịtrấn không bịquét biến mất bởi mỗi thì trấn còn lại.

C2. Ta nói tập hữu hạn S các điểm trong mặt phẳng là cân bằng nếu với mỗi hai điểm khác nhau A và B trong S, tồn tại C trong S sao cho AC = BC. Ta nói S là không tâm nếu với mỗi ba điểm phân biệt A, B và C của S, không tồn tại P trong S sao cho PA = PB = PC. (a) Chứng minh rằng với mỗi n ≥3, tồn tại tập cân bằng chứa n điểm. (b) Xác định tất cản ≥3 sao cho tồn tại tập cân bằng và không tâm chứa n điểm.

C3. Với tập hữu hạn các sốnguyên dương A, một phân hoạch của A thành hai tập con khác rỗng A1, A2 được gọi là tốt nếu bội chung nhỏnhất của các phần tửtrong A1 bằng ước chung lớn nhất của các phần tửtrong A2. Tìm sốnguyên dương n nhỏnhất sao cho tồn tại tập gồm n sốnguyên dương với đúng 2015 phân hoạch tốt.

C4. Cho sốnguyên dương n. Hai người chơi A và B chơi một trò chơi chọn các sốnguyên dương k ≤n. Luật chơi là: (i) Người chơi không được chọn sốđã được chọn ởcác bước trước. (ii) Người chơi không được chọn sốliên tiếp với các sốđã được người đó chọn ởcác bước trước. (iii) Trò chơi sẽkết thúc với kết quảhòa nếu không còn sốnào đểchọn; trong trường hợp còn lại, ai không chọn được sẽthua. A đi trước. Xác định kết quảcủa trò chơi, giảsửrằng cảhai cùng chơi giỏi.

C5. Cho dãy các sốnguyên a1, a2, . . . thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: (i) 1 ≤aj ≤2015 với mỗi j ≥1, (ii) k + ak ̸= ℓ+ aℓvới mỗi 1 ≤k < ℓ.

3

ThuVienDeThi.com