Xem trước nội dung
Mục lục
Chương 1. DÃY SỐ 3 1.1 Dãy số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Định nghĩa dãy số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Cách cho dãy số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Dãy sốtăng, giảm và dãy sốbịchặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Cấp sốcộng - Cấp sốnhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Cấp sốcộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Cấp sốnhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.3 Ứng dụng CSC-CSN đểtìm CTTQ của dãy số. . . . . . . . . . . . . . 16
Chương 2. GIỚI HẠN DÃY SỐ 35 2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2 Các định lí vềgiới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3 Một sốphương pháp tìm giới hạn dãy số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3.1 Xác định công thức tổng quát của dãy số. . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3.2 Sửdụng nguyên lí Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.3.3 Sửdụng nguyên lí kẹp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.3.4 Xây dựng dãy phụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.3.5 Giới hạn của dãy un = f (un) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.3.6 Giới hạn của một tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.4 Dãy sốsinh bởi phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
1 ThuVienDeThi.com
Chương 1
DÃY SỐ
1.1 Dãy số
1.1.1 Định nghĩa dãy số
Định nghĩa 1.1. Dãy sốhữu hạn là tập hợp các giá trịcủa hàm sốu : {1,2,3,...,m} →R,
n →u(n) được sắp xếp theo thứtựtăng dần theo đối sốn:
u1,u2,...,um.
Ta nói dãy sốcó m sốhạng và
• u1: được gọi là sốhạng đầu
• um: được gọi là sốhạng cuối.
Định nghĩa 1.2. Dãy sốlà tập hợp các giá trịcủa hàm sốu : N∗→R, n →u(n) Được sắp xếp theo thứtựtăng dần liên tiếp theo đối sốtựnhiên n:
u(1),u(2),u(3),...,u(n),...
• Ta kí hiệu u(n) bởi un và gọi là sốhạng thứn hay sốhạng tổng quát của dãy số,
u1 được gọi là sốhạng đầu của dãy số.
• Ta có thểviết dãy sốdưới dạng khai triển u1,u2,...,un,... hoặc dạng rút gọn (un).
1.1.2 Cách cho dãy số
Người ta thường cho dãy sốtheo các cách sau:
• Cho sốhạng tổng quát, tức là: cho hàm sốu xác định dãy sốđó
• Cho bằng công thức truy hồi, tức là:
* Cho một vài sốhạng đầu của dãy
* Cho hệthức biểu thịsốhạng tổng quát qua sốhạng (hoặc một vài sốhạng) đứng trước nó.
3 ThuVienDeThi.com
4 Chương 1. DÃY SỐ
Ví dụ1.1
Cho dãy số(un) được xác định bởi un = n+1
2n với n ⩾1.
1. Viết 5 sốhạng đầu tiên của dãy
2. Chứng minh rằng un ⩽1, ∀n ⩾1.
Lời giải. 1) Ta có
u1 = 1+1
21 = 1, u2 = 2+1
22 = 3
4, u3 = 3+1
23 = 1
2, u4 = 4+1
24 = 5
16,u5 = 5+1
25 = 3
16.
2) Ta có un ⩽1 ⇔2n ⩾n+1 (1). Ta chứng minh (1) bằng phương pháp quy nạp. Với n = 1 ta thấy (1) đúng. Giảsử(1) đúng với n = k ⩾1, tức là 2k > k +1. Khi đó
2k+1 = 2.2k ⩾2(k +1) = k +2+ k > k +2.
Do đó (1) đúng với n = k +1. Vậy bài toán được chứng minh. ■
Ví dụ1.2
Cho dãy số(un) được xác định bởi
u1 = 2
un+1 = un +1
2 , ∀n ⩾1 .
1. Tìm 4 sốhạng đầu của dãy
2. Chứng minh rằng un > 1 với ∀n ⩾1
3. Tìm công thức tổng quát của dãy (un).
Lời giải. 1) Ta có
u1 = 2, u2 = u1 +1
2 = 3
2, u3 = u2 +1
2 = 5
4, u4 = u3 +1
2 = 9
8.
2) Ta chứng minh un > 1 bằng quy nạp. Hiển nhiên, ta có u1 > 1. Giảsửun > 1, khi đó
un+1 = un +1
2 > 1+1
2 = 1.
Do đó, ta có un > 1, ∀n ⩾1. 3) Ta có
u1 = 2, u2 = 21 +1
2 , u3 = 22 …
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
