Công thức và bài tập phương trình lượng giác Lớp 11

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1. Công thức lượng giác cơ bản:

• sin tan cos

    ; cos cot sin

   

• 2 2 sin cos 1        2 2 cos 1 sin   ;   2 2 cos sin 1  

• tan .cot 1      cot

1 tan  (hay ) tan

1 cot  

• 2 2 1 1 tan cos   ;

2 2 1 1 cot sin  

2. Công thức cộng:

• a b b a b a cos . sin cos . sin ) sin(    b a

b a b a tan . tan 1

tan tan ) tan( 

  

• a b b a b a cos . sin cos . sin ) sin(    b a

b a b a tan . tan 1

tan tan ) tan( 

  

• b a b a b a sin . sin cos . cos ) cos(    • b a b a b a sin . sin cos . cos ) cos(    3. Công thức nhân đôi: (Chỉ có tính nhân đôi về góc)

• a a a cos . sin 2 2 sin  .

• a a a 2 2 sin cos 2 cos  

1 cos 2 2   a

a 2 sin 2 1 

Công thức nhân ba

• a a a 3 sin 4 sin 3 3 sin   • a a a cos 3 cos 4 3 cos 3   4. Công thức biến tổng thành tích:

• sin a + sinb = 2sin 2

b a  cos 2

b a 

• sin a - sinb = 2cos 2

b a  sin 2

b a 

• cos a + cosb = 2cos 2

b a  cos 2

b a 

• cos a - cosb = -2sin 2

b a  sin 2

b a 

5. Công thức biến tích thành tổng: (ít dùng)

•  ) cos( ) cos( 2 1 cos . cos b a b a b a    

•  ) cos( ) cos( 2 1 sin . sin b a b a b a    

•  ) sin( ) sin( 2 1 cos . sin b a b a b a    

6. Công thức đặc biệt:

• x x x x 2 2 4 4 cos sin 2 1 cos sin    • x x x x 2 2 6 6 cos sin 3 1 cos sin   

• ) 4 sin( 2 cos sin     x x x ; ) 4 sin( 2 cos sin     x x x

7. Ứng dụng cung liên kết:

➢Dùng để chuyển : sin về cos, tan về cot và ngược lại

• ) 2 cos( sin      ; ) 2 cot( tan     

➢Dùng để khử dấu trừ:

• ) sin( sin      ; ) tan( tan      ; ) cot( cot     

• ) cos( cos      

§2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Công thức hạ bậc:

•

•

2

2 cos 1 cos2 a a  

2

2 cos 1 sin 2 a a  

Chú ý:

• •   sin ) sin(   

  cos ) cos(  

ThuVienDeThi.com

1. Phương trình lượng giác cơ bản

Công thức nghiệm

 sin sin u v = 2

2 u v k u v k p p p

é = + ê Û ê = - + êë

 ( ) sin 1 u m m = £ arcsin 2 arcsin 2 u m k u m k p p p

é= + ê Û ê = - + êë

 cos cos u v = 2 u v k p Û = ± +  ( ) cos 1 u m m = £ arccos 2 u m k p Û = ± +

 tan tan u v = u v kp Û = +  tanu m = arctan u m kp Û = +

 cot cot u v = u v kp Û = +  cot u m = cot u arc m kp Û = +

Các trường hợp đặt biệt

sin 1 u = 2 2 u k p p Û = + cos 1 u = 2 u k p Û =

sin 1 u = - 2 2 u k p p Û = - + cos 1 u = - 2 u k p p Û = +

sin 0 u = u kp Û = cos 0 u = 2 u k p p Û = +

Một số phương trình thường gặp

• 1 cos 2 u = - 2 cos cos 3 u p æ ö÷ ç ÷ Û = ç ÷ ç ÷ çè ø

2 2 3 u k p p Û = ± +

• 2 cos 2 u = - 3 cos cos 4 u p æ ö÷ ç ÷ Û = ç ÷ ç ÷ çè ø

3 2 4 u k p p Û = ± +

• 3 cos 2 u = - 5 cos cos 6 u p æ ö÷ ç ÷ Û = ç ÷ ç ÷ çè ø

5 2 6 u k p p Û = ± +

• 1 sin 2 u = - sin sin 6 u p æ ö÷ ç ÷ Û = -ç ÷ ç ÷ çè ø

2 6

2 6

u k

u k

p p

p p p

éê = - + ê Û êê = + + êë

• 2 sin 2 u = - sin sin 4 u p æ ö÷ ç ÷ Û = -ç ÷ ç ÷ çè ø

2 4

2 4

u k

u k

p p

p p p

éê = - + ê Û êê = + + êë

• 3 sin 2 u = - sin sin 3 u p æ ö÷ ç ÷ Û = -ç ÷ ç ÷ çè ø

2 3

2 3

u k

u k

p p

p p p

éê = - + ê Û êê = + + êë

• tan 1 u = - tan tan 4 u p æ ö÷ ç ÷ Û = -ç ÷ ç ÷ çè ø 4 u k p p Û = - +

• tan 3 u = - tan tan 3 u p æ ö÷ ç ÷ Û = -ç ÷ ç ÷ çè ø 3 u k p p Û = - +

• 1 tan

3 u = - tan tan 6 u p æ ö÷ ç ÷ Û = -ç ÷ ç ÷ çè ø 6 u k p p Û = - +

• cot 1 u = - cot cot 4 u p æ ö÷ ç ÷ Û = -ç ÷ ç ÷ çè ø 4 u k p p Û = - +

• cot 3 u = - cot cot 6 u p æ ö÷ ç ÷ Û = -ç ÷ ç ÷ çè ø 6 u k p p Û = - +

• 1 cot

3 u = - cot cot 3 u p æ ö÷ ç ÷ Û = -ç ÷ ç ÷ çè ø 3 u k p p Û = - +

BÀI TẬP Bài 1. Giải phương trình

1) 2 sin2 1 0 x - = 2) 2sin 3 0 2 x - = 3) 2sin 1 0 4         x 

ThuVienDeThi.com