Các vấn đề liên quan đến lượng giác

1

 I, Các đẳng thức lượng giác, 1, Công thức cơ bản. ❖Sin2x + Cos2x = 1

❖ x Tan x Cos

2 2 1 1  

❖ x Cotg x Sin

2 2 1 1  

❖Sin2x = (1–Cosx)(1+Cosx)

❖Sin2x = x Tan

x Tan

2

2

1 ❖Cotgx.Tanx = 1

❖Tan2x = x Cos

x Cos

2 1

2 1

 

❖Sin2x = 2

2 1 x Cos 

❖Cos2x = 2

2 1 x Cos 

❖Sinx.Cosx = x Sin2 2 1

2, Cung đối nhau.

❖Cos(–x) = Cosx ❖Sin(–x) = – Sinx ❖Tan(–x) = – Tanx ❖Cotg(–x) = – Cotgx 3, Cung bù nhau.

❖Sin  ) ( x  Sinx ❖Cos   ) ( x  Cosx ❖Tan   ) ( x  Tanx ❖Cotg   ) ( x  Cotgx 4, Cung hơn kém.

❖Sin   ) ( x  Sinx

❖Cos   ) ( x  Cosx ❖Tan  ) ( x  Tanx ❖Cotg  ) ( x  Cotgx 5, Cung phụ nhau.

❖Sin ) 2 ( x   = Cosx

❖Cos ) 2 ( x   = Sinx

❖Tan ) 2 ( x   = Cotgx

❖Cotgx ) 2 ( x   = Tanx

6, Cung hơn kém.

❖Sin Cosx x  ) 2 (

❖Cos ) 2 ( x   = Sinx 

❖Tan ) 2 ( x   = Cotgx 

❖Cotg ) 2 ( x   = Tanx 

Ghi nhớ: Cos đối – Sin bù – Phụchéo. 7, Công thức cộng. ❖Sin(a 

b) = SinaCosb 

CosaSinb

❖Cos(a 

b) = CosaCosb 

SinaSinb

❖Tan(a+b) = TanaTanb

Tanb Tana



 1

❖Tan(a–b) = TanaTanb

Tanb Tana



 1

❖Cotg(a+b) = Cotgb Cotga CotgaCotgb



1

❖Cotg(a–b) = Cotgb Cotga CotgaCotgb



1

8, Công thức nhân đôi. ❖Sin2x = 2SinxCosx ❖Cos2x = Cos2x – Sin2x = 2Cos2x - 1 = 1 – 2Sin2x

❖Tan2x = x Tan Tanx

2 1

2 

❖Cotg2x = Cotgx

x Cotg

2

1 2 

Lưu ý:

❖Cosx = 2 2

2 2 x Sin x Cos 

= 2Cos2 1 2  x

= 1 – 2Sin2

2 x

❖Sinx = 2Sin 2

x Cos 2

x

9, Công thức theo “t”.

Đặt Tan 2

x = t ta có:

❖Sinx = 2 1

2

t t 

❖Cosx = 2

2

1 1

t t  

❖Tanx = 2 1

2

t t  10, Công thức nhân 3. ❖Sin3x = x x 3 sin 4 sin 3  ❖Cos3x = 4Cos3x – 3Cosx

❖Tan3x = x Tan

x Tan Tanx

2

3

3 1 3





11, Công thức tích thành tổng.

❖CosxCosy=  ) ( ) ( 2 1 y x Cos y x Cos   

❖SinxCosy =  ) ( ) ( 2 1 y x Sin y x Sin   

❖SinxSiny=  ) ( ) ( 2 1 y x Cos y x Cos    

12, Công thức tổng(hiệu) thành tích.

❖Sinx + Siny = 2Sin              

2 2

y x Cos y x

❖Sinx – Siny = 2Cos              

2 2

y x Sin y x

❖Cosx + Cosy = 2Cos              

2 2

y x Cos y x

❖Cosx – Cosy = – 2Sin              

2 2

y x Sin y x

❖Tanx + Tany = CosxCosy

y x Sin ) ( 

❖Tanx – Tany = CosxCosy

y x Sin ) ( 

❖Cotgx + Cotgy = SinxSiny

y x Sin ) ( 

❖Cotgx – Cotgy = SinxSiny

x y Sin ) ( 

ThuVienDeThi.com

2

13, Các hệ qủa thông dụng.

❖Sinx + Cosx =                4 2 4 2   x Cos x Sinx

❖Sinx – Cosx =                 4 2 4 2   x Cos x Sinx

❖4.Sinx.Sin(60o – x).Sin(60o + x) = Sin3x ❖4.Cosx.Cos(60o – x).Cos(60o + x) = Cos3x

❖1 + Sin2x = (Sinx + Cosx)2 ❖1 – Sin2x = (Sinx – Cosx)2

❖          

4 1 1  x Tan Tanx Tanx

❖           

4 1 1  x Tan Tanx Tanx

❖Cotgnx – Tannx = 2Cotg2nx

❖Cotgx + Tanx = x Sin2

2

Công thức liên quan đến phương trình lượng giác

❖Sin3x = x Sin Sinx 3 4 3 

Sin3x = 4

3 3 x Sin Sinx 

❖Cos3x = 4Cos3x – 3Cosx

Cos3x = 4

3 3 x Cos Cosx 

❖Sin4x + Cos4x = 1 x Sin 2 2 1 2 

❖Sin4x – Cos4x = – Cos2x

❖Sin6x + Cos6x = 1 x Sin 2 4 3 2 

❖Sin6x – Cos6x = Cos2x       x Sin 2 4 1 1 2

III, Phương trình lượng giác. 1, Cosx = Cos

  

  

    

 

2

2

k x

k x

( k Z  )

Đặc biệt:

❖Cosx = 0  x =   k  2 ❖Cosx = 1  x = k2 ❖Cosx = 1  x =   2 k  2, Sinx = Sin

  

  

     

 

2 2

k x

k x

( k Z  )

Đặc biệt:

❖Sinx = 0  x =  k

❖Sinx = 1  x =   2 2 k 

❖Sinx =   2 2 1 k x     

3, Tanx = Tan

x =   k  ( k Z  ) Đặc biệt:

❖Tanx = 0  k x  

❖Tanx không xác định khi   k x  2

(Cosx=0)

4, Cotgx = Cotg

x =   k  ( k Z  ) Đặc biệt:

❖Cotgx = 0    k x  2 ❖Cotgx không xác định khi: x =  k ( Sinx=0)

ThuVienDeThi.com