Bài tập Hình học 11 - Chủ đề Khoảng cách - Phùng Hoàng Cúc

1 HÌNH HỌC 11 TRỌNG TÂM PHÙNG HOÀNG CÚC- 0934791809- HỘI AN

CHỦ ĐỀ: KHOẢNG CÁCH

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

① Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a là MH , với H là hình chiếu của M trên đường thẳng a . Kí hiệu:   , d M a MH  .

② Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  là MH , với H là hình

chiếu của M trên mặt phẳng  .

Kí hiệu:    , d M MH   .

③ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường này đến đường kia.

      , , d a b d M b MH M a   

④ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng   song song với nhau là

khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc đường a đến mặt phẳng  :

    , , d a d M MH M a             

⑤ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

      , , A, , d d a d AH a A a                      

⑥ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. - Đường thẳng c cắt hai đường thẳng ,a b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy gọi là đường vuông góc chung của ,a b. IJ gọi là đoạn vuông góc chung của ,a b .

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

II. KỸ NĂNG CƠ BẢN

1. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng a. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d cho trước

Các bước thực hiện: Bước 1. Trong mặt phẳng   , M d hạ MH d  với H d  .

Bước 2. Thực hiện việc xác định độ dài MH dựa trên hệ thức lượng trong tam giác, tứ giác, đường

tròn, …

 Chú ý:

 Nếu tồn tại đường thẳng a qua A và song song với d thì:       , , d M d d A d AK A d    .

 Nếu MA d I   , thì:    

, , d M d MI d A d AI  .

a

b

c

J

I a

b J

I







M

H a

a M A

K

d

A

K

d I H

M

 H

M



M

H a



M

H

a b



M

H

a



A B

H K 

a

ThuVienDeThi.com

2 HÌNH HỌC 11 TRỌNG TÂM PHÙNG HOÀNG CÚC- 0934791809- HỘI AN

b. Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng 

Các bước thực hiện: Bước 1. Tìm hình chiếu H của O lên  .

1. Tìm mặt phẳng   qua O và vuông góc với  .

2. Tìm       .

3. Trong mặt phẳng  , kẻ OH  tại H.

 H là hình chiếu vuông góc của O lên  .

Bước 2. Khi đó OH là khoảng cách từ O đến  .

 Chú ý:

 Chọn mặt phẳng  sao cho dễ tìm giao tuyến với .

 Nếu đã có đường thẳng  d   thì kẻ / / Ox d cắt  tại H.

 Nếu  // OA  thì:       , , d O d A    .

 Nếu OA cắt   tại I thì:      

O,

,

d OI

AI d A



 

2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

 Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau ,a b

 Trường hợp a  b:

B1: Dựng mặt phẳng   chứa a và vuông góc với b tại B.

B2: Trong   dựng BA  a tại A.

 AB là đoạn vuông góc chung.  Trường hợp a và b không vuông góc với nhau.

Cách 1: (Hình a) - B1: Dựng mp   chứa a và song song với b.

- B2: Lấy điểm M tùy ý trên b dựng MM  () tại M - B3: Từ M dựng b// b cắt a tại A. - B4: Từ A dựng // AB MM cắt b tại B.  AB là đoạn vuông góc chung. Cách 2: (Hình b) - B1: Dựng mặt phẳng  a  tại O,   cắt b tại I

- B2: Dựng hình chiếu vuông góc b của b lên  

- B3: Trong mp , vẽ OH  b tại H.

- B4: Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B - B5: Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A.  AB là đoạn vuông góc chung.  Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ,a b

Cách 1. Dùng đường vuông góc chung:

- Tìm đoạn vuông góc chung AB của ,a b.Suy ra   , d a b AB 

Cách 2. Dựng mặt phẳng  chứa a và song song với b. Khi đó:      , , d a b d b  

Cách 3. Dựng 2 mặt phẳng song song và lần lượt chứa a và b. Khi đó:      , , d a b d   







O

H

 H

O d

 H

O A

K

 H

O

A

K I

b

a B

A 

(Hình a)

A 

B …