Đề khảo sát học sinh giỏi lớp 11 môn thi Toán 11 Tháng 9

TRƯỜNG THPT NHÃ NAM ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 11

NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn thi: Toán 11 –THÁNG 9 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (4.0 điểm)

a) Giải phương trình: sin3 cos3 2 2cos 1 0 4 x x x           

b) Giải hệ phương trình:

2 2

2 2

1 1 16 2 3 1 1 100 2( ) ( ) ( ) 9

x x y x y

x y x y x y

                 Câu 2: (1.5 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn, phía bên ngoài của tam giác ABC dựng hai tam giác đều ABM và ACN. Tìm một phép dời hình biến đoạn thẳng MC thành đoạn BN .Từ đó suy ra MC=BN.

Câu 3:(1.5 điểm)

Khảo sát tính chẵn - lẻ, tính tuần hoàn và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số   sin sin . y x  

Câu 4: (2.0 điểm)

Trong mphẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng và điểm 3 2 A(2;-3), B(3;-2) trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng (d): 3x- y - 8 = 0. Tìm toạ độ điểm C.

Câu 5:(1.0 điểm) Cho . Chứng minh rằng: , , 0 x y z 

2 2 3 5 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 3 xy yz zx P z x z y x y x z y z y x          

--------------------HẾT----------------------

ThuVienDeThi.com

Câu Nội dung Điểm a) Ta có:

 

sin3 cos3 2 2cos 1 0 4

sin3 cos3 2 cos sin 1 0

x x x

x x x x

                      

sin3 sin cos3 cos cos sin 1 0

2sin2 cos 2sin2 sin cos sin 1 0

2sin2 cos sin cos sin 1 0

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x

      

    

    

Đặt: cos -sin 2 cos ; 2; 2 4 t x x x t                Ta có: 2 3 2(1 ) 1 0 2 1 0 1 t t t t t t     

2 1 1: 2 cos 1 cos 4 4 2 2 2

x k t x x

x k

  

 

                       

2.0

điểm

0,5

0,5

0,5

0,5

1

b) ĐK: x y  Hệ phương trình tương đương với

2 2

2 2

1 1 16

3 1 1 100 ( ) ( ) ( ) ( ) 9

x y x y x y x y

                    

Đặt 1 1 ; (| |,| | 2) a x y b x y a b x y x y         

Ta có:

2 2

16 2 10 3 3 10 100 2 2 2 3 9

a a b a b b a b

                           Từ đó suy ra hệ phương trình có bốn nghiệm

2 2 2 2 3 3 1 1 1 1 3 3

x x x x y y y y

                              

2.0 điểm

0,5

0,5

0,5

0,5

ThuVienDeThi.com

Câu 2 Qua phép quay thì điểm M biến thành B;điểm C biến 0 ( ;60 ) A Q

thành điểm N .Do đó ,qua phép quay thì đoạn MC biến 0 ( ;60 ) A Q

thành đoạn BN .Vậy MC=BN

1,5đ

Câu 3

Tập xác định của hàm số là (đối   ( ) sin sin y f x x    D A

xứng qua 0)

Vậy, f chẵn (f không lẻ vì nó không đồng ( ) ( ). , x f x f x    A nhất bằng 0)

Vậy, f tuần hoàn ( 2 ) ( ). , x f x f x   A Tập giá trị của hàm số là nên sin t x    0;  0 min min sin 0, t f t   

0 max max sin 1 t f t   

1,0

0,5

Câu 4

* Ta có

(1) 1 2 3 . ( , ) ( , ) 2 2

ABC ABC

S S AB d C AB d C AB AB    

* Đường thẳng AB có véctơ chỉ phương (1;1) AB  

 véctơ pháp tuyến là  AB: x-y-5=0 ( 1;1) AB n  

Gọi điểm G(xG, yG) thì C( 3xG-5 ;3yG +5)

Ta cã 3 5 3 5 5 3 2 2

G G x y   

Ta cã

1

3 8 5

3 3 15 3 2

2

G

G G G

G G G

G

x

x y y

x y x

y

                        Vậy có hai điểm thoả mãn C1(1;-1) , C2(-2;-10)

0,5

0,5

0,5

0,5

Câu 5 Đặt: , , a y z b z x c x y       Khi đó: là ba cạnh của một tam giác ABC. , , a b c

Ta có:

2 2 ( )( ) ( ) ( )( ) 4 4 xy b c a c a b c a b z x z y ab ab          

2 2 2 1 1 1 cos 4 2 2 2 c a b C ab      

Tương tự ta có: 1 1 cos ( )( ) 2 2 yz A x y x z    

1,0 điểm

0,25

0,25

ThuVienDeThi.com