Toán 11 - Phần Giới hạn

Giới Hạn Toán GT 11

1

Giới Hạn A. Kiến thức sách giáo khoa I. Giới hạn của dãy số 1. Dãy số có giới hạn 0 a. Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số có giới hạn 0, kí hiệu (hay ), nếu với mọi số   n u   n lim u 0  n limu 0  dương nhỏ bao nhiêu tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.

b. Tính chất:     n 1 1 lim 0; lim 0 0 ; limq 0 | q | 1 n n     

c. Định lí: Cho hai dãy số (1) 

n n n n n n

| u | v u ,v : limu 0 lim v 0

       2. Dãy số có giới hạn hữu hạn a. Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số có giới hạn là số thực L, kí hiệu , nếu   n u n limu L    n lim u L 0  

  n n limu L lim u L 0     b. Các định lí: • Cho (un) mà un = c, n : n limu c 

• limun = L n

3 3

n

lim | u | | L |

lim u L

     • Nếu thì: n n limu L,lim v M  

   

n n n n n n

n

u L lim u v L M; lim u .v L.M; limk.u k.L (k ); lim (M 0) v M         A

• (2)  

n n n

n n n

v u w , n

limu L lim v lim w L L

           A • Dãy (un) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn; Dãy (vn) giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn. (3) c. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn

•

n 2 n 1 n 1 1 1 1 1

1 q S u u q u q ... u q u . ; 1 q

        

•

n 2 n 1 1 1 1 1 1 n 1

u 1 q S u u q u q ... u q ... limS limu . ; 1 q 1 q

             3. Dãy số có giới hạn vô cực a. Dãy số có giới hạn  Ta nói rằng dãy (un) có giới hạn +∞, kí hiệu limun = +∞, nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó. Kết quả: 3 limn ;lim n ;lim n    b. Dãy số có giới hạn - ∞ Ta nói rằng dãy (un) có giới hạn là - ∞, kí hiệu limun = -∞, nếu với mọi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó. c. Các quy tắc tìm giới hạn vô cực • Quy tắc nhân

n limu n lim v   n n lim u .v

    +            +        • Quy tắc chia

có dấu n limu L 0   có dấu n n lim v 0,v 0  

n

n

u lim v + + 

ThuVienDeThi.com

Giới Hạn Toán GT 11

2

+    +     II. Giới hạn của hàm số 1. Giới hạn hữu hạn a. Giới hạn hữu hạn Cho và f là hàm số xác định trên tập . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số   0 x a;b    0 a;b \ x thực L, kí hiệu , khi x dần đến (hoặc tại điểm ), nếu với mọi dãy số trong tập 

0 x x lim f x L   0 x 0 x   n x

mà , ta đều có   0 a;b \ x n 0 lim x x    n limf x L  b. Giới hạn vô cực

nếu mọi dãy trong tập mà thì 

0 x x lim f x

    n x   0 a;b \ x n 0 lim x x    n limf x 

2. Giới hạn của hàm số tại vô cực Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng . Ta nói rằng hàm f có giới hạn là số thực   a; L khi x dần đến +∞, kí hiệu , nếu với mọi dãy số trong khoảng mà  xlim f x L     n x   a;

, ta đều có n lim x    n limf x L  3. Các định lí a. Định lí 1: Giả sử và . Khi đó: 

0 x x lim f x L     

0 x x lim g x M L,M   A

•  

0 x x lim f x g x L M         • 

0 x x lim f x .g x L.M      

•   

0 x x lim k.f x k.L k        A •    

0 x x

f x L lim M 0 g x M   

b. Định lÝ 2: Giả sử . Khi đó: 

0 x x lim f x L  

• ; 

0 x x lim | f x | | L |

 

• ; 

0

3 3 x x lim f x L  

• Nếu với mọi , trong đó J là một khoảng nào đó chứa thì và  f x 0   0 x J \ x  0 x L 0 

. 

0 x x lim f x L  

c. Định lí 3: Giả sử J là một khoảng chứa và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp . 0 x  0 J \ x Khi đó:

      

0

0 0

0

x x x x x x

x J \ x : g x f x h x

lim f x L lim g x lim h x L   

          4. Giới hạn một bên a. Định nghĩa: • Giả sử hàm f xác định trên khoảng . Ta nói rằng hàm f có giới hạn bên phải là số thực   0 0 x ;b ,x A L khi x dần đến x0, kí hiệu: , nếu với mọi dãy số trong khoảng mà 

0 x x lim f x L      n x   0 x ;b n 0 lim x x 

, ta đều có .   n limf x L  • …