Toán 11 - Tích của hai vectơ

- 1 -

TÍCH CỦA HAI VECTƠ

Bài 1: Tính tích vô hướng của 2 vecto. Phương pháp:

-Tính  b ; a vecto 2 bởi tạo góc và a ; a

-Áp dụng công thức  b ; a cos b a b , a 

Thí dụ : Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB =AC = a . Tính CB . AC ; AC . AB

2 2 0

2

1 2 45 0 a a cos CB . CA CB . CA CB , AC AC . AB AC AB

GIAÛI

        

BÀI TẬP 1.Cho hình vuông ABCD có cạnh a . Tính ĐS: 0 ; a2 AC . AB ; AD . AB

2.Cho tam giác ABC vuông tại C có AC = 9 và BC = 5. Tính ĐS:81 AC . AB 3.Cho tam giác ABC có AB=2 BC = 4 và CA = 3.

AD ra suy rồi AC ; AB theo AD Tính . BC với A góc của trong giác phân điểm giao là D Gọi .d

GA . GC GC . GB . GB . GA Tính .c

BC . AG Tính . giác tam tâm trọng là G .Gọi b A cos ra suy AC . AB Tính .a

 

HD:

    

5

6 3 6 29

3 5 3 1 3 1 3 2

4 1

 

      

   

AD : ÑS .c

: ÑS AB AC AC AB BC . AG AC AB AM AG .b

A cos 2 3 - : ÑS : veá 2 phöông bình AB AC BC

Bài 2:Chưng minh một đẳng thức vec tơ có lien quan đến tích vô hướng hay đẳng thức các độ dài . Phương pháp : -Ta sử dụng các phép toán về vec tơ và các tính chất của tích vô hướng .

-Về độ dài ta chú ý :AB2 =

2 AB Thí dụ1 : Cho tam giác ABC . và M là một điểm bất kỳ . 1.Chứng minh rằng 0    AB . MC CA . MB BC . MA 2.Gọi G là trọng tâm tam giác chứng minh 2 2 2 2 2 2 2 3 GC GB GA MG MC MB MA      

3.Suy ra với a ; b ;c là độ dài 3 cạnh của tam giác   2 2 2 2 2 2

3 1 c b a GC GB GA     

Chưng minh

ThuVienDeThi.com

- 2 -

     

   

    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

3 1 2 6

4

4

4 3

3 2 3

2 3

2

2

2 2

0

c b a GC GB GA ) c b a ( GC GB GA

GA GB GC AC CB C M

GC GA GB BC BA B M

GC GB GA AC AB A M .

GC GB GA MG GC GB GA MG GC GB GA MG

GC . MG GB . MG GA . MG GC GB GA MG VT

GC . MG GC MG GC MG MC MC

GB . MG GB MG GB MG MB MB

GA . MG GA MG GA MG MA MA .

MA . MC MB . MC MC . MB MA . MB MB . MA MC . MA

) MA MB ( MC ) MC MA ( MB ) MB MC .( MA VT

           

     

     

     

          

       

     

     

     

      

      

BÀI TẬP: 1.Cho 2 điểm cố định A và B và M là một điểm bất kỳ .H là hình chiếu của M lên AB và I là trung điểm của AB.Chứng minh rằng :

IH . AB MB MA )c AB MI MB MA ) b AB MI MB . MA ) a 2 2 2 4

2 2 2 2 2 2 2 2       

2.Cho tứ giác ABCD . a.Chứng minh rằng DB . AC DA CD BC AB 2 2 2 2 2     b. Chưng minh điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD có 2 đường chéo vuông góc là :AB2+CD2=BC2+AD2

3.Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh huyền BC = a3 .Gọi M là trung điểm của BC biết

a AC 2 a AB : ÑS AC vaø AB Tính . a BC , AM   2

2

4.Cho nữa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R .Gọi M và N là 2 điểm thuộc nữa đương tròn và AM và BN cắt nhau tại I. a.Chưng minh BA . BI BN . BI ; AB . AI AM . AI  

:b,Từ đó tính theo R BN . BI AM . AI 

5.Cho tam giác ABC có trực tâm H và M là trung điểm BC Chứng minh 4

2 BC MA . MH 

6.Cho tứ giác ABCD có 2 đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại M và P là trung điểm của AD . Chứng minh MD . MB MC . MA BC MP   

Bài 3: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) và C(x3;y3) .Xác định hình dạng của tam giác ABC. Phương pháp :

           

2 3 1 2 3 1 2 2 3 2 2 3 2 1 2 2 1 2 y y x x CA y y x x BC y y x x AB Tính             

–Nêu AB = BC = CA =>Tam giác ABC đều . –Nếu AB = AC =>Tam giác ABC cân –Nếu AB = AC và BC = AB2 => Tam giác ABC vuông cân tại B –Nếu BC2=AB2 +AC2 =>tam giác ABC vuông tại A

ThuVienDeThi.com