Bám sát toàn diện Toán 11

KHOÁ HỌC: BÁM SÁT TOÀN DIỆN TOÁN 11 Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại website: www.vted.vn

Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn - Fb: Fb.com/Mrdangthanhnam

1

1

VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN

(1) Định nghĩa

Véctơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu AB

! " !!

chỉ véctơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B. Các khái niệm về giá của véctơ, sự cùng phương, cùng hướng của hai véctơ, véctơ - không, hai véctơ bằng nhau được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng.

(2) Các phép toán của véctơ trong không gian Các phép toán cộng, trừ hai véctơ tương tự trong mặt phẳng. *Quy tắc trung điểm:

Với M là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta có MA

! " !!

+ MB

! " !!

= 0

"

và với O là điểm bất kì ta có

OM

! " !!!

= 1

2

OA

! " !!

+ OB

! " !! ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜

⎞ ⎠ ⎟⎟⎟.

*Quy tắc hình bình hành:

Với ABCD là hình bình hành, ta có AC

! " !!

= AB

! " !!

+ AD

! " !!

. *Tính chất trọng tâm tam giác:

Với G là trọng tâm tam giác ABC, ta có GA

! " !!

+ GB

! " !!

+ GC

! " !!

= 0

"

và với O là điểm bất kì, ta có

OG

! " !!

= 1

3

OA

! " !!

+ OB

! " !!

+ OC

! " !! ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜

⎞ ⎠ ⎟⎟⎟.

*Ba điểm thẳng hàng:

Với A, B,C thẳng hàng và O là điểm bất kì ta có OA

! " !!

= xOB

! " !!

+ (1−x)OC

! " !!

.

(3) Quy tắc hình hộp Cho hình hộp ABCD.A' B'C' D' có ba cạnh xuất phát từ đỉnh A là AB, AD, AA' và đường chéo

AC'. Khi đó ta có quy tắc hình hộp là:

ThuVienDeThi.com

2

AC' ! " !!!

= AB

! " !!

+ AD

! " !!

+ AA'

! " !!!

. Thông thường ta sẽ đặt

AB ! " !!

= a

!"

, AD

! " !!

= b

"

, AA'

! " !!!

= c

"

vậy theo quy tắc

hình hộp, ta có AC'

! " !!!

= a

!"

+ b

"

+ c

"

. Chứng minh. Theo quy tắc hình bình hành, ta có

AC' ! " !!!

= AA'

! " !!!

+ AC

! " !!

AC ! " !!

= AB

! " !!

+ AD

! " !! ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪

⎩ ⎪⎪⎪

⇒AC'

! " !!!

= AB

! " !!

+ AD

! " !!

+ AA'

! " !!!

.

(4) Khái niệm về ba véctơ đồng phẳng

Xét ba véc tơ a

!"

,b

"

,c

"

là các véctơ khác véctơ – không. Với O là điểm bất kì trong không gian, xét ba

điểm A, B,C thoả mãn OA

! " !!

= a

!"

,OB

! " !!

= b

"

,OC

! " !!

.

+) Nếu OA,OB,OC cùng nằm trên một mặt phẳng ta nói ba véctơ a

!"

,b

"

,c

"

đồng phẳng; trường hợp

này giá của a

!"

,b

"

,c

"

luôn luôn song song với một mặt phẳng.

+) Nếu OA,OB,OC không thuộc cùng một mặt phẳng ta nói ba véctơ a

!"

,b

"

,c

"

không đồng phẳng. (5) Định nghĩa ba véctơ đồng phẳng Trong không gian ba véctơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

(6) Điều kiện để ba véctơ đồng phẳng

Trong không gian cho hai véc tơ a

!"

,b

"

không cùng phương và véctơ c

!

. Khi đó ba véctơ a

!"

,b

"

,c

"

đồng

phẳng khi và chỉ khi c

!

= ma

"!

+ nb

!

. Ngoài ra bộ số (m;n) là duy nhất. *Hệ quả: Bốn điểm A, B,C, D đồng phẳng khi và chỉ khi

OA

! " !!

= mOB

! " !!

+ nOC

! " !!

+ (1−m−n)OD

! " !!

.

+) Ba véctơ a

!"

,b

"

,c

"

không đồng phẳng khi đó

ma

!"

+ nb

"

+ pc

"

= 0

"

⇔m = n = p = 0.

(7) Biểu diễn một véctơ qua ba véctơ không đồng phẳng

Trong không gian cho ba véctơ không đồng phẳng a

!"

,b

"

,c

"

. Khi đó với mọi véctơ x

!

ta luôn có

x !

= ma

"!

+ nb

!

+ pc

!

. Ngoài ra bộ số (m;n;p) là duy nhất.

ThuVienDeThi.com