Giải tích 11 - Giới hạn của dãy số và hàm số

Giải tích 11-BCB:Giới hạn của dãy số và hàm số

___________________________________________________________________________

Trang 1

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa: a) Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu:

  lim 0 hay u 0 khi n + . n un n     b) Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (un) có giới hạn là a hay (un) dần tới a khi n dần tới vô cực ( ), nếu Kí hiệu: n    lim 0. n n u a     n lim hay u khi n + . n n u a a    

Chú ý: .   lim lim n n n u u  

2. Một vài giới hạn đặc biệt.

a) * k 1 1 lim 0 , lim 0 , n n

   A n b) với .  lim 0 n q  1 q 

c) Lim(un)=c (c là hằng số) => Lim(un)=limc=c. 3. Một số định lý về giới hạn của dãy số. a) Định lý 1: Cho dãy số (un),(vn) và (wn) có : và * n v n n n u w   A .    n lim lim lim u n n v w a a    

b) Định lý 2: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì:

    lim lim lim n n n n u v u v a b        lim . lim .lim . n n n n u v u v a b       * n lim lim , v 0 n ; 0 lim

n n

n n

u u a b v v b      A

   lim lim , 0 ,a 0 n n n u u a u    

4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q ,với 1. q 

1 lim lim1 n

u S q   5. Dãy số dần tới vô cực: a) Ta nói dãy số (un) dần tới vô cực khi n dần tới vơ cực nếu un   nu    n 

lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim(un)= hay  un khi .  n  b) Ta nói dãy số (un) có giới hạn là khi nếu lim .Ký hiệu:  n    nu  

lim(un)= hay un khi .   n  c) Định lý:

ThuVienDeThi.com

Giải tích 11-BCB:Giới hạn của dãy số và hàm số

___________________________________________________________________________

Trang 2

o Nếu : thì    * n lim 0 u 0 , n nu   A 1 lim

nu 

o Nếu : thì  lim nu  1 lim 0

nu 

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.

1. Giới hạn của dãy số (un) với với P,Q là các đa thức:   n

P n u Q n 

o Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P là a0, hệ số cao nhất của Q là b0 thì chia

tử số và mẫu số cho nk để đi đến kết quả : .  0

0 lim n

a u b 

o Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)=0. o Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)= . 

2. Giới hạn của dãy số dạng: , f và g là các biển thức chứa căn.   n

f n u g n 

o Chia tử và mẫu cho nk với k chọn thích hợp. o Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp. C. CÁC VÍ DỤ.

1.

2

2 2 2

2 2

2 2

3 2 5 2 5 3 3 2 5 3 lim lim lim 1 8 7 8 7 8 7 7

n n n n n n n n n n n

n n n

             

2.

2

2 2 1 1 4 1 4 1 4 1 4 5 lim lim lim 3 2 2 3 2 3 3 3

n n n n n n n n

n n

             

3.      2 2 2 2 2

2 2

2 3 2 3 2 3 lim 2 3 lim lim 2 3 2 3

n n n n n n n n n n n n

n n n n n n

                   

2

2 2

3 2 2 3 2 3 2 lim lim lim 1 1 1 2 3 2 3 2 3 1 1 1 1

n n n n n n n n n n n

                       

là biểu thức liên hợp của 2 2 3 n n n    2 2 3 n n n   

ThuVienDeThi.com