Một số bài toán giải bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

TRƯỜNG THPT TRẦN BÌNH TRỌNG TỔ TOÁN

MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG (Tham gia vào bộ chuyên đề Toán giúp HS thi HSG bảng B và ĐH của Sở)

I. Mở đầu Chúng ta biết rằng, nói chung, mỗi vấn đề của Hình học đều có thể thể hiện theo cách thức của Hình học giải tích. Do đó, có thể giải một bài toán Hình học nói chung, hình học phẳng nói riêng bằng cách tọa độ hóa để chuyển thành bài toán Hình học giải tích. Sau đây chúng ta bàn đến việc chuyển đổi một bài toán hình học phẳng sang bài toán Hình học giải tích như thế nào. Việc chuyển đổi này gồm các bước sau: Bước 1 : Chọn hệ trục tọa độ. Bước này sẽ dễ dàng thực hiện nếu trong bài toán Hình học phẳng đang xét có sẵn tam giác vuông hoặc tam giác cân hoặc tam giác đều hay có quan hệ vuông góc của hai đường thẳng. Tuy nhiên không ít trường hợp phải phát hiện, kẻ thêm các đường phụ để tạo nên đường thẳng vuông góc. Một trong các nguyên tắc không thể bỏ qua là chọn hệ trục tọa độ vuông góc sao cho việc tính toán tọa độ các điểm, viết phương trình các đường được dễ dàng, thuận lợi. Bước 2 : Tính tọa độ các điểm cho trong đề bài theo hệ tọa độ vừa chọn. Thực ra chỉ cần tính tọa độ của những điểm liên quan đến giả thiết và kết luận của bài toán. Với những bài toán đã có sẵn số liệu thì việc tính toán tọa độ ta dựa vào hình vẽ. Đối với bài toán mà chưa cho số liệu thì ta cần đưa số liệu vào và sau đó dựa vào hình vẽ dể tính tọa độ các điểm theo số liệu đó. Một thủ thuật nhằm giúp cho việc tính toán đơn giản đi là hay chọn đơn vị của trục bằng độ dài một cạnh, một đoạn thẳng nào đó có trong giả thiết. Bước 3 : Thực hiện các sự kiện của giả thiết đã cho Trong giả thiết của bài toán thường cho các quan hệ song song, quan hệ vuông góc, góc của hai đường thẳng, khoảng cách giữa hai đói tượng hình học hoặc các sự kiện hình học khác. Bằng các phép toán của Hình học giải tích, ta thực hiện biến đổi, đưa ra các hệ thức điều kiện, hệ thức ràng buộc. Bước 4 : Đưa ra các kết luận mà bài toán cần giải quyết . Từ các hệ thức thu được ở bước 3, ta “phiên dịch” từ ngôn ngữ của hình học giải tích sang ngôn ngữ của hình học phẳng. Ta cũng nhận thấy, mặc dù các sự kiện của hình học nói chung và của hình học phẳng nói riêng đều có thể trình chuyển đổi sang ngôn ngữ của Hình học giải tích, tuy vậy có mức độ khó, dễ khác nhau. Điều đó dẫn tới việc có rất nhiều bài toán hình học gặp nhiều khó khăn khi chuyển đổi sang ngôn ngữ Hình học giải tích. Phương pháp tọa độ hóa bài toán hình học phẳng để dùng công cụ Hình học giải tích giải bài toán khá hữu hiệu tuy vậy ta không nên tuyệt đối hóa nó. II. Một số bài toán minh họa

ThuVienDeThi.com

Bài 1. Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC, N là chân đường phân giác

góc . Đường thẳng vuông góc với NA tại N cắt các đường thẳng AB, AM lần ABAC lượt tại P, Q theo thứ tự đó. Đường thẳng vuông góc với AB tại P cắt AN tại O. Chứng minh OQ vuông BC.

y

x

O

Q

P

M N

C B

A

Gợi ý. Chọn hệ trục tọa độ Nxy sao cho A, N nằm trên trục hoành. Vì AB không song song với các trục tọa độ nên phương trình của nó có dạng:

y = ax + b (a 0). Khi đó : , .  ;0 b A a       

(0; ) P b 

AC đi qua A và đối xứng với AB qua trục hoành nên có phương trình : y = -ax – b.

PO đi qua P, vuông góc với AB nên có phương trình : . 1 y x b a  

O là giao điểm của PO và trục hoành nên . ( ,0) O ab 

BC đi qua gốc tọa độ nên: +) Nếu BC không nằm trên trục tung thì phương trình BC có dạng y = cx với c 0,  c a (vì B, C không thuộc trục hoành, BC không song song với AB và AC).  B là giao điểm của BC và AB nên tọa độ B là nghiệm của hệ :

. ; y ax b b bc B y cx c a c a

                C là giao điểm của BC và AC nên tọa độ C là nghiệm của hệ :

. ; y ax b b bc C y cx c a c a

                

Do đó : , suy ra : . 2 2 2 2 ; ab abc M c a c a           2

2 2 ; ( ) bc AM c a a c a  



Từ đó ta có phương trình của AM là : .

2 a ab y x c c  

Q là giao điểm của AM với trục tung nên

. 1 0; 1; ab Q QO …