Tài liệu Ôn tập Chương 4 Giới hạn Lớp 11

Tài liệu Ôn tập Chương 4 – Giới hạn Lớp 11

1

A- Giới hạn dãy số *Các giới hạn thường gặp:

limC = C ; lim = 0  > 0 ; lim = 1

n

1

n 0 ; limqn = 0 |q| < 1 *Các phép toán giới hạn : lim(un  vn) = limun  limvn ; lim(un.vn) = limun ;

limvnlim = un

vn

limun

limvn *Các định lý về giới hạn: Định lý 1: Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn

Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn Định lý 2: Cho 3 dãy số (un),(vn) và (wn) Nếu n ta có un ≤ vn ≤ wn và limun = limwn = A thì limvn = A

Định lý 3: Nếu limun = 0 thì lim =  1

un

Nếu limun =  thì lim = 0 1

un *Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là

S =

u1

1 – q 1.Dùng định nghĩa,tính các giới hạn sau:

a) lim b) lim c) lim 2

n + 1

2n + 1

n - 1

1

n2 2.Tính các giới hạn sau:

a) lim b) lim 2n2 + n – 3

n2 + 1

– n2 + n – 1

2n2 – 1

c) lim d) lim 3n – 1

n2 – 2

4n – 1

n + 1

e) lim f)lim( ) 1 n 2 n

3 n 2

3 3  

 n2 – 2n – n

g) lim

2sinn + 3cosn

3n – 2 3.Tính các giới hạn sau:

a) lim b) lim( ) 2n – 3

n2 + 1

n + 1 – n

c) lim ) n d) lim ) n – 1

e) lim f) lim n n – 1

3n2 + 2

2n n2 + n

3n2 + 2n + 1

g) lim

1 3 n

1 n 3 n n n 2 3 2 3



   

h) lim i)lim( 2n – 3 – n

3n + 1

n2 + n – n2 + 1

) j) lim n( ) n2 + 1 – n2 – 2

k) lim( ) n n 2 n 3 2 3  

l) lim 4n2 + 1 – 2n – 1

n2 + 4n + 1 – n m) lim(1 + n2 – ) n4 + 3n + 1

n) lim

n2 +

3 1 – n6

n4 + 1 – n2 4.Tính các giới hạn

a) lim b) lim 2n – 5.3n

3n + 1

2n + 2n + 1

2n + 4.3n

c) lim d) lim 4.3n + 7n + 1

2.5n + 7n

3n – 4n

3n + 4n

e) lim f) lim (– 2)n + 3n

(– 2)n + 1 + 3n + 1 (– 1)n + 2n

1 + (– 3)n

g) lim với |a| < 1 ; 1 + a + a2 + … + an

1 + b + b2 + … + bn |b| < 1 4.Cho dãy (un) xác định bởi u1 = ; un+1 2 = 2 + un a)Chứng minh rằng (un) bị chặn trên bởi 2 và là dãy số tăng b)Suy ra (un) có giới hạn và tính giới hạn đó 5.Cho dãy (un) xác định bởi

u1 = ; un+1 =

1

2

1

2 – un a)Chứng minh rằng (un) bị chặn trên bởi 1 và là dãy số tăng b)Suy ra (un) có giới hạn và tính giới hạn đó 6.Tìm các số hữu tỉ sau : a) 2,1111111... b)1,030303030303... c)3,1515151515.... 7.Tính

lim(1 – ).(1 – ).(1 – )…(1 – ) 1

22

1

32

1

42

1

n2 8. Cho dãy (xn) thỏa

0 < xn < 1 và xn+1(1 – xn) ≥

1

4

ThuVienDeThi.com

Tài liệu Ôn tập Chương 4 – Giới hạn Lớp 11

2

Chứng minh rằng: dãy số (xn) tăng. Tính limxn 9. Cho dãy (xn) thỏa 1 < xn < 2 và xn+1 = 1 +

xn – xn2 n  N

1

2

a)Chứng minh rằng: |xn – | < ( )n n ≥ 3 2

1

2 b) Tính limxn

10.Cho dãy số xác định bởi :

u1 = ; un +1=

1

2

un2 + 1

2 a) Chứng minh rằng: un < 1 n b) Chứng minh rằng: (un) tăng và bị chặn trên c) Tính limun 11.Cho dãy số (un) xác định bởi công thức u1 = và un +1= 6 6 + un a) Chứng minh rằng un < 3  n b)Chứng minh rằng: (un) tăng và bị chặn trên c) Tính limun

B- Giới hạn hàm số *Các phép toán về giới hạn hàm số

  x a x a x a lim f (x) g(x) limf (x) limg(x)      

  x a x a x a lim f (x).g(x) limf (x).limg(x)    

x a

x a

x a

limf (x) f (x) lim g(x) limg(x)









x a x a lim f (x) limf (x)   

*Các định lý về giới hạn hàm số : Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất Định lý 2:Cho 3 hàm số g(x),f(x),h(x) cùng xác định trong khoảng K chứa a và g(x) ≤ f(x) ≤ h(x). Nếu thì x a x a limg(x) limh(x) L    

x a limf (x) L  

Định lý 3: Nếu

x a x a

1 limf (x) 0 thì lim f (x)    

Nếu

x a x a

1 limf (x) thì lim 0 f (x)    

Định lý 4: x 0

sinx lim 1 x  

x 0

x lim 1 sinx  

x 0

sin kx lim 1 kx  

x 0

kx lim 1 sin kx  

*Các dạng vô định: là các giới hạn có dạng ; 0

0

; 0. ;  –  



1.Tính các giới hạn sau: a) 2 x

2 x 3 x 2 lim

2

2 x 

 



b) 1 x

3 x 5 x 3 x lim 2

2 3

1 x 

  



c) d) 4 x 4 x

x 2 x lim 2

2

2 x  



 

2 x 3 x

1 x x x lim 2

2 3

1 x  

  



e) f) 9 x 8 x

9 x 3 x 5 x lim 2 4

2 3

3 x  

  



3 x 2 x

1 x lim 2 3

4

1 x  



 

g) h) 1 x x 2

3 x 2 x lim 2

2

1 x  

 



2

3

2 x x 4

2 x 3 x lim 

 

 

i) k) m,nN 1 x

x x 5 x 4 lim 2

5 6

1 x 

 

 1 …