Một số phương pháp tìm giới hạn của một hàm số

Phương pháp tìm giới hạn của hàm số

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA MỘT HÀM SỐ

I. Tóm tắt lý thuyết

1. Giới hạn hữu hạn

 Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y=f(x) xác định trên K hoặc trên K\{x0}. khi và chỉ khi với dãy số ( bất kỳ ,xn \{x0} và xn lim ?→?0

?(?) = ? ?? ) ∈

,ta có limf(xn)=L . →?0  Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (xo;b) . khi và chỉ khi lim ?→?+

0

?(?) = ?

với dãy số (xn) bất kỳ x0<xn<b và xn , ta có limf(x)=L . →?0  Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;x0). , khi và chỉ khi lim ?→?‒

0

?(?) = ?

với dãy số (xn) bất kỳ , a<xn<x0 và xn , ta có limf(xn)=L . →?0  Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;+∞) . , khi và chỉ khi lim ?→+ ∞

?(?) = ?

với dãy (xn) bất kỳ ,xn>a và xn , thì limf(xn)=L →+ ∞  Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (-∞;a) . , khi và chỉ khi lim ?→‒ ∞

?(?) = ?

với dãy số (xn) bất kỳ ,xn<a và thì limf(xn)=L. ??→‒ ∞

2. Giới hạn ở vô cực

 Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng(a;+∞) . , khi và chỉ lim ?→+ ∞

?(?) =‒ ∞

khi với dãy số (xn) bất kỳ , xn>a và ,ta có limf(xn)=-∞ . ??→+ ∞  Cho K là khoảng chứa điểm x0 và hàm số y=f(x) xác định trên K hoặc trên K\{x0}. .khi và chỉ khi với mọi dãy số bất kỳ (xn) ,xn thuộc lim ?→?0

?(?) =+ ∞

K\{x0} và xn , ta có limf(xn)=+∞ . →?0 Chú ý : f(x) có giới hạn +∞ ,khi và chỉ khi -f(x) có giới hạn -∞

3.Các giới hạn đặc biệt

a) lim

?→?0

?= ?0

?) lim

?→?0

?= ? ; lim

x→± ∞

c = ? ; lim

x→± ∞

c x = 0

ThuVienDeThi.com

Phương pháp tìm giới hạn của hàm số

?) lim

?→+ ∞

??=+ ∞ ,

Với k là một số nguyên dương

?) [

lim ?‒ ∞

??=‒ ∞ , ?ℎ? ? ??

lim ?→‒ ∞

??=+ ∞ , ?ℎ? ? ?ℎ??#

ThuVienDeThi.com

Phương pháp tìm giới hạn của hàm số

4. Định lý về giới hạn hữu hạn

* Định lý 1

a) Nếu và , thì lim ?→?0

?(?) = ? lim ?→?0

?(?) = ?

 lim ?→?0

[?(?) + ?(?)] = ?+ ?

 lim ?→?0

[?(?) ‒ ?(?)] = ?‒ ?

 lim ?→?0

[?(?).?(?)] = ?.?

 lim ?→?0[

?(?) ?(?)] = ?

? (?≠0 )

b) Nếu f(x)≥ 0 và , thì L ≥ 0 và lim ?→?0

?(?) = ? lim ?→?0

?(?) = ?

Định lý 2

lim ?→?0

?(?) = ? ?ℎ? lim

?→?+

0

?(?) = lim

?→?‒

0

?(?) = ?

5. Quy tắc về giới hạn vô cực

a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x) .

lim ?→?0

?(?) lim ?→?0

?(?) lim ?→?0

?(?)?(?)

+∞ +∞ L>0 -∞ -∞ +∞ -∞ L <0 -∞ +∞

b) Quy tắc tìm giới hạn của thương ?(?)

?(?)

lim ?→?0

?(?) lim ?→?0

?(?) Dấu của g(x) lim ?→?0

?(?) ?(?)

L ±∞ Tuỳ ý 0 + +∞ L>0 0 - -∞ L <0 0 + -∞

ThuVienDeThi.com

Phương pháp tìm giới hạn của hàm số

B. Phương pháp tìm giới hạn của hàm số

I. Thông thường ta áp dụng các quy tắc và định lý về giới hạn của hàm số là ta tìm được ngay giá trị của giới hạn .

Ví dụ , Tìm các giới hạn sau

?) lim

?→1

?2 + 2?‒ 3

2?2 ‒ ?‒ 1

?) lim

?→2

2 ‒ ? ?+ 7 ‒ 3

?) lim

→+ ∞

2?3 + 3?‒ 4

‒ ?3 ‒ ?2 + 1

; ?) lim

?→‒ ∞

?2 ‒ ?‒ 4?2 + 1

2?+ 3

?) lim

?→0

1 ?(

1 ?+ 1 ‒ 1) ; ?) lim

?→‒ ∞( 4?2 ‒ ?+ 2?)

Bài giải :

?) lim

?→1

?2 + 2?‒ 3

2?2 ‒ ?‒ 1

= lim

?→1

(?‒ 1)(?+ 3)

2(?‒ 1)(?+ 1

2)

= lim

?→1

?+ 3 2?+ 1 = 4

3

?) lim

?→2

2 ‒ ? ?+ 7 ‒ 3 = lim

?→2

(2 ‒ ?)( ?+ 7 + 3)

?‒ 2 = lim

?→2

‒ ( ?+ 7 + 3) =‒ 6

?) lim

?→+ ∞

2?3 + 3?‒ 4

‒ ?3 ‒ ?2 + 1

= lim ?→+ ∞

2 + 3

?2 ‒ 4

?3

‒ 1 ‒ 1

?+ 1

?3

=‒ 2

?)

lim ?→‒ ∞

?2 ‒ ?‒ 4?2 + 1

2?+ 3 = lim

?→‒ ∞

|?|( 1 ‒ 1

?‒ 4 + 1

?2)

2?+ 3 = lim

?→‒ ∞

‒

?) lim

?→0 ‒

1 ?(

1 ?+ 1 ‒ 1) = lim

?→0 ‒

1 ‒ (?+ 1)

?(?+ 1) = lim

?→0 ‒ ‒ 1 ?+ 1 =‒ 1

?) lim

?→‒ ∞( 4?2 ‒ ?+ 2?) = lim

?→‒ ∞

‒ ?

|?| 4 ‒ 1

?‒ 2?

= lim

?→‒ ∞

1

4 ‒ 1

?+ 2

= 1

4

ThuVienDeThi.com