Xem trước nội dung
Trang 1
Chương 4.GIỚI HẠN Chủ đề 1. GIỚI HẠN DÃY SỐ 1) Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân:
Một hàm số u xác định trên tập số tự nhiên * N được gọi là dãy số vô hạn ( gọi tắt là dãy số) nếu: u là
ánh xạ từ * N vào R: ( ) n u n → ( ứng với mỗi * n N ∈ thì có một giá trị ( ) u n R ∈ ).
Đặt ( ) n u n u = và gọi nó là số hạng tổng quát của dãy số ( )n u .
( )n u là cấp số cộng khi và chỉ khi n n u u d + = + 1 với * n N ∈ , d là hằng số.
( )n u là cấp số nhân khi và chỉ khi n n u u .q + = 1 với * n N ∈ , q là hằng số.
2) Giới hạn hữu hạn.
n xlim u →+∞ = ⇔ 0
n |u | có thể nhỏ hơn một số dương bất kỳ kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Nếu n n u v ≤ ,∀n và lim vn = 0 thì lim un = 0
n n x x lim v a lim (v a) →+∞ →+∞ = ⇔ − = 0
3) Giới hạn ra vô tận.
n xlim u →+∞ = +∞⇔ n |u | có thể lớn hơn một số dương bất kỳ kể từ một số hạng nào đó trở đi.
n n x x lim u lim ( u ) →+∞ →+∞ = −∞⇔ − = +∞
4) Các giới hạn đặc biệt.
→+∞ = xlim n
1 0
→+∞ = xlim
n 1 0 nlim C C(C const) →+∞ = =
nlim n →+∞ = +∞
( ) k
nlim n k Z+
→+∞ = +∞ ∈
Nếu |q|<1 thì n
nlim q →+∞ = 0
|q|>1 thì n
nlim q →+∞ = +∞
5) Định lý về giới hạn tiên tới vô cùng.
a/ Nếu n xlim u a, →+∞ =
và n xlim v →+∞ = ±∞ thì
n x
n x
lim u
lim v
→+∞
→+∞
= 0.
b/ Nếu n xlim u a, →+∞ > n xlim v →+∞ = 0
và ( ) * n v n N > ∈ 0 thì
n x
n x
lim u
lim v
→+∞
→+∞
= +∞
c/ Nếu n xlim u , →+∞ = +∞
và n xlim v a →+∞ = > 0
thì ( ) n n xlim u .v →+∞ = +∞
6) Cấp số nhân lùi vô hạn.
Cấp số nhân ( ) n u có công bội thỏa |q|<1 gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Công thức tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn: n
u S u u .... u q = + + + = −
1 1 2 1
ThuVienDeThi.com
Trang 2
BÀI TẬP TỰ LUẬN Caâu 1: Chứng minh các giới hạn sau:
1)
→+∞ + = − 2 1 lim 2 3 n n n 2)
→+∞ + = + 2 2 1 lim 0 4 n n
n n
3)
→+∞ + = +
2
2 sin lim 0 2 n n n
n n
Caâu 2: Tính các giới hạn sau:
a)
→+∞
− +
+ +
2
2 2 3 lim
3 2 1 n n n
n n
b)
→+∞ +
+ + 3 2 2 1 lim
4 3 n n
n n
c)
→+∞
+ +
+
3 2
3 3 2 lim
4 n
n n n
n
Caâu 3: Tính các giới hạn sau:
1)
→+∞
+ − n
4n 1 lim 2n 7 2)
→+∞
− +
− + −
2
2 n
2n 2 n 8 lim
n 3 n 7
3)
→+∞
+ − − +
3
2 n
2n 5n 1 lim 2n n 3
Caâu 4: Tính các giới hạn sau:
a)
→+∞ + +
n
n n
3 4 lim 1 3.4 b)
→+∞
− + + −
n n n
n n n n
3 4 5 lim 3 4 5 c)
+ +
→+∞ + +
n 1 n 1
n n n
2 3 lim 2 3
Caâu 5: Tính các giới hạn sau:
a)
→+∞ − −− − + 2 2
nlim ( n 2n 1 n 7n 3) b)
→+∞ + − 2
nlim ( n n n)
c)
→+∞
+ − +
+ + −
2
2 n
4n 1 (2n 1) lim
n 4n 1 n
d) ( ) lim 3 1 3 21 n n n →+∞ −− +
Caâu 6: Tính các giới hạn sau:
a)
→+∞ + − 3 3
nlim ( n 1 n) b) ( ) →+∞ − + 3 3
nlim n n n c)
→+∞
− +
+ −
3 3
2 n
2 n n lim
n 1 n
Caâu 7: Tính các giới hạn sau:
1) 2 1 2 ... lim n
n n →+∞
+ + + 2)
2 2 4 ... 2 lim 3 2 n
n n n n →+∞ + + + + −
3)
2 2 2
3 1 2 ... lim 3 2 n
n n n →+∞
+ + + + + 4)
2
2
2 2 2 1 ... 3 3 3 lim
1 1 1 1 ... 5 5 5
n
n n→+∞
+ + + + + + + +
Caâu 8: Tính các tổng sau:
1) ( )
2 1 1 1 1 ... ... 3 3 3
n
n − − + − + + 2) 2 7 29 5 2 ... ... 10 10 10
n n
n + + + + +
Caâu 9: Hãy biểu diễn các số thập phân vô hạn sau đây dưới dạng phân số:
1) 0,66666... 2) 0,353535.... 3) 1,5454... 4) 0,241241....
ThuVienDeThi.com
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
