Vài bài toán về phương trình logarit khác cơ số

Chuẩn bị cho kỳ thi Đại học

Page 1

Vài bài toán về phương trình

logarit khác cơ số Huỳnh Đức Khánh – 0975.120.189 Descartes Giải tích – ĐH Quy Nhơn

Phương trình logarit với cơ số khác nhau luôn là vấn đề gây khó dễ cho học sinh khi gặp phải

trong các đề thi. Học sinh thường lúng túng khi biến đổi, gặp khó khăn để đưa về cùng cơ số hoặc đưa về các phương trình cơ bản. Tôi viết bài xin đóng góp vài bài mẫu về vấn đề này, nó được dùng các phương pháp: Đổi cơ số, đặt ẩn phụ để đưa về phương trình mũ, biến đổi tương đương, đánh giá hai vế. Ví dụ 1. Giải phương trình:

2 3 4 20 log x log x log x log x + + = .

Điều kiện: x 0 > . Với điều kiện trên phương trình tương đương 2 3 2 4 2 20 2 log x log 2.log x log 2.log x log 2.log x + + =

( ) 2 3 4 20 log x 1 log 2 log 2 log 2 0 ⇔ + + − =

2 log x 0 ⇔ = (do 3 4 20 1 log 2 log 2 log 2 0 + + − ≠ )

x 1 ⇔ = (thỏa mãn). Vậy phương trình có nghiệm x 1 = . Ví dụ 2. Giải phương trình:

( ) 2 3 2 log x 3x 13 log x − − = .

Điều kiện:

2 x 3x 13 0 3 61 x x 0 2

 − − > +  ⇔ >  >  .

Đặt: t 2 log x t x 2 = ⇔ = .

Phương trình trở thành: ( ) t t 3 log 4 3.2 13 t − − =

t t t 4 3.2 13 3 ⇔ − − =

t t t 3 1 2 1 13 3 4 4 4

            ⇔ = + +                      . (*)

Hàm số

t t t 3 1 2 y 13 3 4 4 4

            = + +                      là tổng của các hàm nghịch biến nên y nghịch biến,

hàm y 1 = là hàm hằng. Do đó phương trình (*) có nghiệm duy nhất.

Ta có:

3 3 3 3 1 2 1 13 3 4 4 4

            = + +                      . Suy ra phương trình (*) có nghiệm t 3 = .

Với 3 t 3 x 2 8 = ⇒ = = (thỏa mãn). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 8 = .

www.VNMATH.com

ThuVienDeThi.com

Chuẩn bị cho kỳ thi Đại học

Page 2

Ví dụ 3. Giải phương trình:

( ) 2 3 log 1 x log x + = .

Điều kiện: x 0 > . Đặt: t 3 log x t x 3 = ⇔ = .

Phương trình trở thành: ( ) t 2 log 1 3 t + =

t t 1 3 2 ⇔ + =

t t 1 3 1 2 2

        ⇔ + =              . (*)

Hàm số

t t 1 3 y 2 2

        = +              là tổng của các hàm nghịch biến nên y nghịch biến, hàm

y 1 = là hàm hằng. Do đó phương trình (*) có nghiệm duy nhất.

Ta có:

2 2 1 3 1 2 2

        + =              . Suy ra phương trình (*) có nghiệm t 2 = .

Với 2 t 2 x 3 9 = ⇒ = = (thỏa mãn). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 9 = . Ví dụ 4. Giải phương trình:

( ) ( ) 2 2 3 2 log x 2x 1 log x 2x + + = + . (1)

Điều kiện:

2

2 x 2x 1 0 x 2 x 0 x 2x 0

   + + > < −   ⇔    > + >     .

Đặt: 2 u x 2x = + . Phương trình (1) trở thành: ( ) 3 2 log u 1 log u + = . (2)

Xét phương trình (2). Ta đặt: t 2 log u t u 2 = ⇔ = .

Phương trình (2) trở thành: ( ) t 3 log 2 1 t + =

t t 2 1 3 ⇔ + =

t t 2 1 1 3 3

      ⇔ + =             . (3)

Hàm số

t t 2 1 y 3 3

      = +             là tổng của các hàm nghịch biến nên y nghịch biến, hàm y 1 =

là hàm hằng. Do đó phương trình (3) có nghiệm duy nhất.

Ta có:

1 1 2 1 1 3 3

      + =             . Suy ra phương trình (3) có nghiệm t 1 = .

Với 1 2 x 1 3 t 1 u 2 2 x 2x 2 x 1 3

 = −−  = ⇒ = = ⇒ + = ⇔ = −+ 

(thỏa mãn).

Vậy phương trình có nghiệm x 1 3; x 1 3 = −− = −+ .

www.VNMATH.com

ThuVienDeThi.com