Bí quyết Giải phương trình lượng giác

GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH

BÍ QUYEÁT

LÖÔÏNG GIAÙC

- CÁC KĨ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC SẮC

- CÁC MẸO LOẠI NGHIỆM NHANH, CHÍNH XÁC

- CÁCH BẤM MÁY TÍNH TÌM HƯỚNG GIẢI.

ThuVienDeThi.com

1

I. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN



2 2 2 2

2 2 sin 1 cos sin cos 1 cos 1 sin

x x x x x x

         

 2 2 2 2 1 1 1 tan tan 1 cos cos x x x x     

 2 2 2 2 1 1 1 cot cot 1 sin sin x x x x     

 1 tan .cot 1 cot tan x x x x   



4 4 2 2

6 6 2 2 sin cos 1 2sin cos ;

sin cos 1 3sin cos

x x x x

x x x x

        



3 3

3 3 sin cos (sin cos )(1 sin cos )

sin cos (sin cos )(1 sin cos )

x x x x x x

x x x x x x

          

II. DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Góc I Góc II Góc III Góc IV sinx     cosx     tanx     cotx     III. MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC CUNG LƯỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT

 Hai cung đối nhau

cos( ) cos x x   sin( ) sin x x   tan( ) tan x x   cot( ) cot x x    Hai cung bù nhau

sin( ) sin x x   cos( ) cos x x   tan( ) tan x x   cot( ) cot x x    Hai cung phụ nhau

sin( ) cos 2 x x   cos( ) sin 2 x x  

tan( ) cot 2 x x   cot( ) tan 2 x x  

 Hai cung hơn nhau 

sin( ) sin x x   cos( ) cos x x   tan( ) tan x x   cot( ) cot x x  

 Hai cung hơn nhau 2



CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG

ThuVienDeThi.com

2

sin( ) cos 2 x x   cos( ) sin 2 x x  

tan( ) cot 2 x x   cot( ) cot 2 x x  

 Với k là số nguyên thì ta có:

sin( 2 ) sin x k x    cos( 2 ) cos x k x    tan( ) tan x k x    cot( ) cot x k x   

IV. CÔNG THỨC CỘNG

sin( ) sin cos cos sin

cos( ) cos sin tan tan( ) 1 tan

x y x y x y

x y x y x y x y x y x y

  

      

sin( ) sin cos cos sin

cos( ) cos sin tan tan( ) 1 tan

x y x y x y

x y x y x y x y x y x y

  

      

Đặc biệt:

TH1: Công thức góc nhân đôi: 2 2 2 2

2

sin2 2sin cos

cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin 2 tan tan2

1 tan

x x x

x x x x x x x

x

             

Hệ quả: Công thức hạ bậc 2: 2 2 1 cos2 1 cos2 sin ;cos 2 2 x x x x    

TH2: Công thức góc nhân ba:

3

3 sin3 3sin 4 sin

cos 3 4 cos 3cos

x x x

x x x

      

V. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG SANG TÍCH VÀ TÍCH SANG TỔNG

cos cos 2cos cos 2 2 x y x y x y    

cos cos 2 sin cos 2 2 x y x y x y    

sin sin 2sin cos 2 2 x y x y x y    

sin sin 2cos sin 2 2 x y x y x y    

1 cos cos cos( ) cos( ) 2 x y x y x y          

1 sin sin cos( ) cos( ) 2 x y x y x y          

1 sin cos sin( ) sin( ) 2 x y x y x y          

1 cos sin sin( ) sin( ) 2 x y x y x y          

Chú ý:

 sin cos 2 sin 2 cos 4 4 x x x x                               

 sin cos 2 sin 2 cos 4 4 x x x x                               

ThuVienDeThi.com

3



2 sin sin 2

u v k u v u v k



 

         



2 cos cos 2

u v k u v u v k





       

 tan tan

2

u v k u v

u k

  

        

 cot cot

u v k u v u k





       

Đặc biệt:

sin 0

sin 1 2 2

sin 1 2 2

x x k

x x k

x x k



 

 

  

   

  

cos 0 2 cos 1 2 cos 1 2

x x k

x x k x x k

 

  

   

     

Chú ý:  Điều kiện có nghiệm của phương trình sinx m  và cosx m  là: 1 1 m   .  Sử dụng thành thạo câu thần chú " Cos đối - Sin bù - Phụ chéo" để đưa các phương trình dạng sau về phương trình cơ bản:

sin cos sin sin 2 u v u v               

cos sin cos cos 2 u v u v               

sin sin sin sin( ) u v u v     cos cos cos cos( ) u v u v     

 Đối với phương trình

2

2 cos 1 cos 1

sin 1 sin 1

x x

x x

             

không nên giải trực tiếp vì khi đó phải giải 4

phương trình cơ bản thành phần, khi đó việc kết hợp nghiệm sẽ rất khó khăn. Ta nên dựa vào công

thức 2 2 sin cos 1 x x   để biến đổi như sau:

2

2 cos 1 …