Bài tập về nhà Một số dạng toán về tứ diện

Bài 1: Một số bài toán về tứ diện – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ TỨ DIỆN

Bài 1: Tứ diện SABC có ( ). SA mp ABC ⊥ Gọi H, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và SBC.

1. Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và ( ) ( ) SAC BHK ⊥

2. Chứng minh ( ) HK SBC ⊥ và ( ) ( ). SBC BHK ⊥

Giải:

1. Vì H là trực tâm tam giác ABC BH AC ∆ ⇒ ⊥ , theo giả thiết

( ) SA mp ABC BH SA ⊥ ⇒ ⊥ . Nên ( ) BH mp SAC SC BH ⊥ ⇒ ⊥

Do K là trực tâm SBC BK SC ∆ ⇒ ⊥

Từ ñó suy ra ( ) ( ) ( ) SC mp BHK mp BHK mp SAC ⊥ ⇒ ⊥ (ñpcm)

2. Tương tự như trên ta cũng chứng minh ñược: ( ) SB mp CHK SB HK ⊥ ⇒ ⊥

Mà ( ) SC mp BHK SC HK ⊥ ⇒ ⊥ . Do ñó: ( ) ( ) ( ) HK mp SBC mp SBC mp BHK ⊥ ⇒ ⊥

Bài 2: Cho tứ diện ABCD với AB=CD=a, AC=BD=b, BC=AD=c. Gọi I và J lần lượt là

trung ñiểm của AB và CD. Hãy tính ñộ dài ñoạn vuông góc chung của AB và CD

Giải:

Ta thấy ngay ABC ABD ∆ = ∆ nên 2 trung tuyến CI và BD bằng nhau hay ICD ∆ cân tại I.

Nên ta có IJ CD ⊥ .

CM tương tự ta có: IJ AB ⊥ vậy IJ chính là ñoạn vuông góc chung của AB và CD.

Tính IJ: Áp dụng công thức trung tuyến và ta tính IJ ñược kết quả là:

2 2 2 IJ 2 b c a + − =

Bài 3: Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết , , AB a AC b AD c = = = và các góc , BAC ∠ , CAD DAB ∠ ∠

ñều bằng 60 .

Giải:

Không mất tính tổng quát ta giả sử { } min , , a a b c =

www.VNMATH.com

ThuVienDeThi.com

Bài 1: Một số bài toán về tứ diện – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương

Page 2 of 4

Trên AC, AD lấy lần lượt hai ñiểm C1, D1 sao cho AC1 = AD1 = a, từ giả thiết suy ra tứ diện ABC1D1 là tứ

diện ñều cạnh a nên có 1 1

3 2 12 ABC D V a =

Theo công thức tỉ số thể tích:

1 1

2 1 1 . ABC D

ABCD

V AC AD a V AC AD bc = =

1 1 2 2

12 ABCD ABC D bc abc V V a ⇒ = =

Bài 4: Cho tam diện vuông góc Oxyz. Lần lượt lấy trên Ox, Oy, Oz ba ñoạn OA=a, OB=b, OC=c. Gọi α,

β,γ là số ño các nhị diện cạnh BC, CA, AB.

a) CMR: 2 2 2 os os os 1 c c c α β γ + + =

b) CMR: 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ABC OBC OCA OAB S S S S ∆ ∆ ∆ ∆ = + +

Giải:

a) Kẽ . CH AB OH AB OHC γ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒∠ = Ta có:

2 2

2 os OH CH c c γ γ ⇔ = =

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 os a b b c c a a b CH OC OH c a b a b b c c a γ + + = + = ⇒ = + + +

Tương tự và ta tính ñược: 2 2 2 os os os 1 c c c α β γ + + =

b) Áp dụng công thức diện tích hình chiếu ta có:

2 2 2 2 cos

cos ( ) ( ) ( ) ( )

cos

ABC OBC OCA OAB

OBC ABC

OCA ABC

OAB ABC

S S S S S

S S S S S

α

β

γ

∆ ∆ ∆ ∆

 =  = ∆ ⇒ = + +   = 

∆ ∆ ∆ ∆

∆

Bài 5: Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Lấy M,N thuộc CB và CD. ðặt CM=x,

CN=y. Lấy ( ) S At P ∈ ⊥ . Tìm hệ thức giữa x, y ñể:

a) ( )

0 ( ),( ) 45 SAM SAN ∠ =

b) ( ) ( ) SAM SMN ⊥

Giải:

a) ( ) ( ),( ) SAM SAN MAN ∠ = ∠

Ta có: 2 2 2 2 . cos MN MA NA MA NA MAN = + − ∠

Ta tính ñược:

www.VNMATH.com

ThuVienDeThi.com

Bài 1: Một số bài toán về tứ diện – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương

Page 3 of 4

2 2 2

2 2 2 0 2 2 3 4

2 2 2 ( ) 45 4 ( ) 4 2 ( )

( )

MN x y

MA a a x MAN x y a x y a axy x y

NA a a y

 = +  = + − ⇒∠ = ⇔ + + = + −   = + − 

b) Giả sử ( ) ( ) SAM SMN ⊥

Kẽ ' ' ( ) ' NM SM NM SMA NM SA ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥

Nhưng SA MN ⊥ nên NM’ trùng với NM hay M’trùng với M

2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) a a y a a x x y x a x y ⇒ + − = + − + + ⇔ = −

Bài 6: Cho hình Tứ diện S.ABC có các góc phẳng ở ñỉnh S vuông.

1. Chứng minh rằng:

3 ∆ABC ∆SBC ∆SAB ∆SAC S S S S ≥ + +

2. Cho SA=a, SB+SC=k. ðặt SB=x. Tính thể tích tứ diện S.ABC theo a,k,x. Xác ñịnh SB,SC ñể

thể tích tứ diện S.ABC Max.

Giải:

1. Gọi H là trực tâm ∆ABC , Nối dài AH cắt BC tại K 1 AH BC( ) ⇒ ⊥

( ) 2 SA SB SA SBC SA BC( ) SA SC ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥ 

Tứ (1) và (2) ta có: ( ) ( ) BC SAH SAK BC SH ⊥ ≡ ⇒ ⊥

Chứng minh tương tự ta cũng có: AC SH SH ( ABC ) ⊥ ⇒ ⊥ .

Tam giác SAK vuông, chiều cao SH nên:

( ) ( )( )

2 2 2 2 2 2

∆SBC ∆HBC ∆ABC SK.BC KH.BC KA.BC SK KH.KA . S S S      = ⇔ = ⇔ =          

Tương tự: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 2 2 ∆SAB ∆ABC ∆HAB ∆SAC ∆HAC ∆ABC S S S ; S S S …