Ðáp án bài tập tự luyện Các vấn đề về khoảng cách (phần 04)

Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Các vấn ñề về khoảng cách

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 -

A

B

C

S

M K

H

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại B, SA = AB = a, AC = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là ñiểm trên cạnh AB sao cho BM = 2MA. Tính khoảng cách từ B ñến mặt phẳng (SCM). Giải:

Tam giác BMC có 2 ; 3 3

a BM BC a = =

2 2 2 2 2 2 4 31 3 9 9 a a MC BM BC a = + = + =

31 3 a MC ⇒ =

Ta có: ( ,( )) 2 ( ,( )) 2 ( ,( )) ( ,( )) d B SCM BM d B SCM d A SCM d A SCM AM = = ⇒ =

Gọi K là hình chiếu của A trên ñường thẳng CM (do góc AMC > 900 nên K nằm ngoài ñoạn CM). Ta có à ( ê ( ) CK AK v CK SA do SA ABC n n CK SAK ⊥ ⊥ ⊥ ⊥

( ) ( ) à ( ) ( ) SCK SAK v SCK SAK SK ⇒ ⊥ ∩ = . Kẻ ( ) AH SK H SK ⊥ ∈

( ) AH SCM ⇒ ⊥ . Vậy AH là khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (SCM).

Các tam giác AKM và CBM ñồng dạng nên ta có:

. 3 31 AK AM BC AM a AK BC CM CM = ⇒ = =

AH là ñường cao của tam giác vuông SAK nên:

2 2 2 2 2 2 1 1 1 31 1 34 3 AS 3 3 34 a AH AH AK a a a = + = + = ⇒ =

Vậy 2 3 ( ,( ))

34 a d B SCM =

Chú ý: Ta cũng có thể tính trực tiếp khoảng cách từ B ñến mặt phẳng (SCM) theo cách:

. . 3 1 ( ,( )). ( ,( )) 3

S BCM S BCM SCM SCM

V V d B SCM S d B SCM S = ⇒ =

Trong ñó . 1 . 3 S BCM BCM V SA S = (dạng này sẽ có trong bài giảng thể tích khối chóp (phần 3)

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có ñáy là tam giác ñều cạnh a, tam giác SAC cân tại S, góc SBC bằng 600, mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (SBC). Giải:

CÁC VẤN ðỀ VỀ KHOẢNG CÁCH (Phần 04)

ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Các vấn ñề về khoảng cách (Phần 04) thuộc

khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các

Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Các vấn ñề về khoảng cách

(Phần 04). ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.

ThuVienDeThi.com

Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Các vấn ñề về khoảng cách

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 -

A

B

C

S

H

K

E

O

B

A

D

C

S

M

H G

K

Gọi H là trung ñiểm của cạnh AC

, ó ( ) ( ) SH AC c SAC ABC ⇒ ⊥ ⊥ ,

( ) ( ) SAC ABC AC ∩ = nên ( ) SH ABC ⊥

ðặt ( 0) SH x x = >

Tam giác SHC vuông ta có:

2 2 2

4 a SC x = +

Tam giác SHB vuông ta có:

2 2 2 3

4 a SB x = +

Áp dụng ñịnh lí Côsin trong tam giác SBC ta có:

2 2 2 2 . .cos SC SB BC SB BC SBC = + −

2 2 2 2 2 2 2 3 3 1 2 . . 4 4 4 2 a a a x x a a x ⇒ + = + + − +

2 2 3 3 6 . 4 2 2 a a a x x ⇔ + = ⇔ =

Vậy 6 2 a SH =

Gọi K là hình chiếu của H trên ñường thẳng AC ta có:

( ) ( ) ( ) à ( ) ( ) BC HK BC SHK SBC SHK v SBC SHK SK BC SH

⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ∩ =  ⊥ 

Kẻ ( ) ( ;( )) HE SK HE SBC HE d H SBC ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =

Do H là trung ñiểm của AC nên có: ( ;( )) 2 ( ;( )) 2 d d A SBC d H SBC HE = = =

Tam giác vuông BHC có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 4 16 3 3 HK HB HC a a a = + = + =

Tam giác vuông SHK có: 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 16 18 6 3 3 3 HE HS HK a a a a = + = + = =

2 2 6 2 6 6 ( ;( )) 6 6 6 3 6 a a a a a HE HE d d A SBC ⇒ = ⇒ = = ⇒ = = =

Chú ý: ta có thể dùng phương pháp: 1 3 . 3

V V S h h S = ⇒ =

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có cạnh ñáy bằng a, khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác

SAC tới (SCD) là 3 6 a . Tính khoảng cách từ tâm O của ñáy tới (SCD).

Giải: Gọi O là tâm của ñáy ABCD. Vì SO là một trung tuyến của tam giác SAC

nên trọng tâm G của tam giác SAC nằm trên SO là có 2 3 SG SO = .

Gọi M là trung ñiểm của CD Ta có OM DC SM DC ⊥ ⇒ ⊥ (ñịnh lí ba ñường vuông góc) ( ) ( ) ( ) DC SOM SDC SOM ⇒ ⊥ ⇒ ⊥

Lại có: ( ) ( ) SOM SDC SM ∩ = nên nếu

ThuVienDeThi.com