Bài tập Đại số 11 - Chương V Đạo hàm

Trần Sĩ Tùng Đại số 11

Trang 71

CHƯƠNG V ĐẠO HÀM

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

 Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0  (a; b):

= (x = x – x0, y = f(x0 + x) – f(x0)) x x

f x f x f x x x 0

0 0

0

( ) ( ) '( ) lim



   x

y x 0 lim 

  

 Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó. 2. Ý nghĩa của đạo hàm

 Ý nghĩa hình học: + f (x0) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại .   M x f x 0 0 ; ( )

+ Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại là:   M x y 0 0 ;

y – y0 = f (x0).(x – x0)  Ý nghĩa vật lí: + Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t) tại thời điểm t0 là v(t0) = s(t0). + Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q(t) tại thời điểm t0 là I(t0) = Q(t0). 3. Qui tắc tính đạo hàm

 (C) = 0 (x) = 1 (xn) = n.xn–1 n N n 1           x

x

1

2



 (v  0) u v u v ( )      uv u v v u ( )     u u v v u v v2

        

ku ku ( )   v v v2 1           Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm tại x là ux và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là yu thì hàm số hợp y = f(g(x) có đạo hàm tại x là: x u x y y u.  

4. Đạo hàm của hàm số lượng giác

 ; (với ) x

x x 0

sin lim 1  

x x

u x u x 0

sin ( ) lim 1 ( )  

x x u x

0 lim ( ) 0  

 (sinx) = cosx (cosx) = – sinx   x

x 2 1 tan

cos    x

x 2 1 cot

sin 

5. Vi phân

  dy df x f x x ( ) ( ).    f x x f x f x x 0 0 0 ( ) ( ) ( ).     

6. Đạo hàm cấp cao

 ; ; (n  N, n  4)   f x f x ''( ) '( )     f x f x '''( ) ''( )   n n f x f x ( ) ( 1) ( ) ( )        Ý nghĩa cơ học:

Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t0 là a(t0) = f(t0).

ThuVienDeThi.com

Đại số 11 Trần Sĩ Tùng

Trang 72

VẤN ĐỀ 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 bằng định nghĩa ta thực hiện các bước: B1: Giả sử x là số gia của đối số tại x0. Tính y = f(x0 + x) – f(x0).

B2: Tính . x

y x 0 lim 

  

Baøi 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra:

a) tại b) tại x0 = –3 y f x x x 2 ( ) 2 2     x0 1  y f x x ( ) 3 2   

c) tại x0 = 2 d) tại x0 = x y f x x 2 1 ( ) 1     y f x x ( ) sin   6 

e) tại x0 = 1 f) tại x0 = 0 y f x x 3 ( )   x x y f x x

2 1 ( ) 1      Baøi 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) b) c) f x x x 2 ( ) 3 1    f x x x 3 ( ) 2   f x x x ( ) 1, ( 1)   

d) e) f) f x x

1 ( ) 2 3   f x x ( ) sin  f x x 1 ( ) cos 

VẤN ĐỀ 2: Tính đạo hàm bằng công thức Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) bằng công thức ta sử dụng các qui tắc tính đạo hàm.

Chú ý qui tắc tính đạo hàm của hàm số hợp.

Baøi 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) b) c) y x x x 4 3 1 2 2 5 3     y x x x x2

3 2 . 3    y x x 3 2 ( 2)(1 )   

d) e) f) y x x x 2 2 2 ( 1)( 4)( 9)     y x x x 2 ( 3 )(2 )      y x

x

1 1 1         

g) h) i) y x

3 2 1  

x y x 2 1 1 3

  

x x y

x x

2

2 1

1

  

 

k) l) m) x x y x

2 3 3 1    

x x y x

2 2 4 1 3    

x y

x x

2

2

2

2 3 

  Baøi 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) b) c) y x x 2 4 ( 1)    y x2 5 (1 2 )   3 2 11 ( 2 1)    y x x

d) e) f) 2 5 ( 2 )   y x x   y x

4 2 3 2   y

x x 2 2 1

( 2 5) 

 

g) h) i) x y

x

2

3 ( 1)

( 1)

 



x y x

3 2 1 1        

3

2 3 2         y x

Baøi 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) b) c) y x x 2 2 5 2    y x x 3 2    y x x  

d) e) f) y x x2 ( 2) 3    y x 3 ( 2)     y x

3 1 1 2   

ThuVienDeThi.com