Bài tập Đại số 11 - Chương 4 Giới hạn

Chương 4: Giới hạn

1

§1: DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0

A. LÝ THUYẾT: 1. Định nghĩa: nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó lim 0 n n n u u   

trở đi. 2. Một số dãy số có giới hạn 0 thường gặp:

a) b) c) 1 lim 0 n  1 lim 0 n

 3

1 lim 0 n



 Định lí 1 (về giới hạn kẹp): Cho hai dãy số . Nếu và ( ),( ) n n u v , n n u v n  

lim 0 lim 0 n n v u   

 Định lí 2: nếu 1 lim 0 n q q  

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP:

CM dãy số có giới hạn 0 dựa vào ĐL kẹp và dãy số có giới hạn 0 đặc biệt Bài 1: CMR các dãy số sau có giới hạn 0:

a) b) c) 3

2 n u n   2 2 1 2 n

n u n

   1 n u n n  

Bài 2: CMR các dãy số sau có giới hạn 0:

a) b)

2

2 3 1 3 2 n

n n u n

   2 sin(2 1) 2 n

n u n

  

c) d) 2 2 2 2 1 1 1 1 ... 1 2 3 n u n n n n n          1 4.3 2 5 3

n n

n n u 

   Bài 3: CMR các dãy số sau có giới hạn 0:

a) b)

1 ( 1)

3

n

n u n

   

1

1 n u

n 



c) d) cos( 1) 1 n

n u n

   2 1

1 n u

n 

 Bài 4: CMR các dãy số sau có giới hạn 0:

a) b) 1 n u n n   1 2 1 n n u  

c) d) 4 ( 1)

1

n

n

n u

n

 



1

2 n

n n u

n  

Bài 5: Cho dãy số với . CMR: ( ) n u lim 0 n u 

a) b) lim 0 n u  2 lim 0 n u 

Bài 6: Cho hai dãy số và thỏa mãn và bị chặn. CMR: ( ) n u ( ) nv lim 0 n u  ( ) nv lim 0 n n u v 

§2: DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN

A. LÝ THUYẾT: 1. Định nghĩa: lim lim( ) 0 n n u L u L     2. Một số định lý:

ThuVienDeThi.com

Chương 4: Giới hạn

2

 Định lí 1: Giả sử , khi đó: lim n u L 

 3 3 lim ,lim n n u L u L  

Nếu và 0, 0 n u n L    lim n u L 

 Định lí 2: Giả sử lim ,lim , n n u L v M c const     lim( ) n n u v L M     lim( ) n n u v L M     , lim( . ) . n n u v L M  lim . . n c u c L 

 lim ( 0) n

n

u L M v M  

 Định lí 3: Cho 3 dãy số . Nếu và ( ),( ),( ) n n n u v w , n n n u v w n    lim lim lim n n n u w L v L    

 Định lí 4: Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn. Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn.

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1 1

u

q    1 q 

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP:

Dạng 1: CM dãy số có giới hạn là L

Phương pháp: cm dãy có giới hạn L ta CM ( ) n u lim( ) 0 n u L   Ví dụ 1: Chứng minh rằng

a) b) 4 3 lim 2 2 1 n

n

  

2

2 2 3 1 2 lim 3 3 3 n n n n    

Dạng 2: Tìm giới hạn của dãy số

Ví dụ 1: Tìm giới hạn của các dãy số sau:

a) b) 3 1 lim 2 3 n

n

  

2

2 2 1 lim 3 n n n n    

c) d) 2 5 lim 2.3 3.5

n n

n n  

2 3 4 lim 2 3 n n n

  

Ví dụ 2: Tìm giới hạn của các dãy số sau:

a) b) 2 2 n u n n    2 n u n n    Ví dụ 3: Tính giới hạn của các dãy số cho bởi các công thức sau:

a) b) 1 3 5 ... 2 1 1 n

n u n     

2 1

2 1 1 2 2 ... 2 1 3 3 ... 3

n

n n u



         Dạng 3: CM dãy số có giới hạn dựa vào tính đơn điệu và bị chặn của dãy số

Ví dụ 1: Cho dãy số xác định bởi: . CMR dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó. ( ) n u

1

1

3

2 4 3

n n

u

u u 

    

ThuVienDeThi.com

Chương 4: Giới hạn

3

Ví dụ 2: Cho dãy số xác định bởi CMR: dãy số có giới hạn. ( ) n u 1 1 , 1,2,3...

n

n u n n          Dạng 4: Tính giới hạn dãy số dựa vào định lí kẹp

Ví dụ 1: Tính giới hạn của các dãy số sau:

a) b) sin(3 ) lim n n lim 2n

n

Ví dụ 2: Tính các giới hạn

a) 2 2 2 2 2 2 lim ... 1 2 2 n n n n n n n n n              

b) 2 2 2 1 2 lim . .... 1 5.1 1 2 5.2 1 5. 1 n n n                     

Dạng 5: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Ví dụ 1: Tính các tổng sau đây:

a) 1 1 1 ... ... 3 3n S    

b) với 2 3 4 1 ... ( 1) ... n n S x x x x x         1 x 

C. BÀI TẬP ÔN LUYỆN

Bài 1: Cho dãy số với . Hãy tìm số nguyên dương N nhỏ nhất sao cho với mọi ( ) n u 2 n

n u n   1 n u   

trong mỗi trường hợp sau đây đối với n N   a) b) 0,001  0,00001  Bài 2: CMR:

a) b) 2 3 lim 2 1 n n

  

2

2 2 2 lim 2 1 n n n n     

c) d) 2 3 1 lim 3 4

n

n

  

5 lim 1 3 5

n

n n   Bài 3: CMR:

a) b) sin lim 1 …