Bài tập Đại số 11 - Chương 3 Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

1

§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

A. LÝ THUYẾT

Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n, ta thực hiện như sau:  Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.  Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k  1), chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k + 1. Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) là đúng với với mọi số nguyên dương n  p thì:

+ Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p; + Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k  p và phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1.

B. CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Chứng minh một tính chất số học bằng quy nạp

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì số chia hết cho 6. 7 1 n - Ví dụ 2: Giả sử a là nghiệm của phương trình . Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì 2 3 1 0 x x - + =

luôn là số nguyên. 1 n n n b a a = +

Dạng2: Chứng minh đẳng thức bằng quy nạp

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có

a) 2 1.2 2.5 ... (3 1) ( 1) n n n n + + + - = +

b) 2 1 1 1 1 2 1 1 1 ... 1 4 9 16 ( 1) 2( 1) n n n

æ ö æ öæ öæ ö + ÷ ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç - - - - ÷= ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ç è øè øè ø + + è ø

Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức bằng quy nạp

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n>1 ta đều có: 1 1 1 1 13 ... 1 2 3 2 24 n n n n + + + + > + + +

Ví dụ 2: Cho n số dương . Chứng minh bất đẳng thức: 1 2 , .... ( 2) n x x x n ³

1 2 1 2 (1 )(1 )...(1 ) 1 ... n n x x x x x x + + + > + + + +

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Chứng minh một tính chất số học, đại số bằng quy nạp Bài 1: chứng minh các đẳng thức sau ( ) * n ¥ Î a) chia hết cho 10 11 1 n - b) chia hết cho 169. 3 3 3 26 27 n n + - -

ThuVienDeThi.com

Chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

2

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, số là số nguyên.

5 4 3

5 4 3 30 n n n n + + -

Bài 3: Cho số thực a sao cho là số nguyên. Chứng minh rằng là số nguyên với mọi số 1 a a + 1 n

n a a +

nguyên dương n. Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n luôn có ít nhất một số nguyên dương k sao cho . 2 2 k n n < < Bài 5: Chứng minh số tập con của tập có n phần thử ( ) là 1 n ³ 2n

Bài 6: Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh ( ) là 4 n ³ ( 3) 2 n n-

Bài 7: Giả sử là số hữu tỉ. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì là số hữu tỉ. cosj cosnj

Bài 8: Với mỗi số tự nhiện , ta đặt ( n dấu căn). Chứng minh rằng 1 n ³ 2 2 ... 2 na = + + +

1 2.cos 2 n n a + p =

Chứng minh đẳng thức bằng quy nạp Bài 9: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:

a) 2 1.4 2.7 3.10 ... (3 1) ( 1) n n n n + + + + + = + b) 2 1 3 5 ... (2 1) n n + + + + - =

c)

2 2 2 2 2 (4 1) 1 3 5 ... (2 1) 3 n n n - + + + + - =

d) 1 1 1 1 ... 1.4 4.7 7.10 (3 2)(3 1) 3 1 n n n n + + + + = - + +

e) (3 1) 1 4 7 ... (3 2) 2 n n n - + + + + - =

f) 1 3 1 1 3 9 ... 3 2

n n- - + + + + =

Bài 10: Giả sử . Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta đều có: 1 x ¹

1

1

2 4 2 2 1 2 4 2 1 2 ... 1 1 1 1 1 1

n n

n n

x x x x x x

+

+ + + + + = + + + + - + - Bài 11: Chứng minh rằng với mọi , ta có: 1 n ³

a) 2 4 4 4 4 2 1 1 1 1 ... 1 1 9 25 (2 1) 2 1 n n n

æ ö æ öæ öæ ö + ÷ ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç - - - - ÷= - ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ç è øè øè ø - - è ø

b)

1 2 2 2 1 2 ( 1) ( 1) 1 2 3 ... ( 1) . 2

n n n n n

- - - + - + - + - =

c) 1 1 1 1 1 1 1 ... ... 2 3 2 1 1 2 2 n n n n - + - + = + + + + + + d) 1.3.5...(2 1).2 ( 1)( 2)...2 n n n n n - = + + Bài 12: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:

2 n (n+1) sin sin ... sin 2sin sin 3 3 3 6 6 n p p p p p + + + =

Chứng minh bất đẳng thức bằng quy nạp

ThuVienDeThi.com