30 bài toán chỉnh hợp, hoán vị, tổ hợp

1

30 BẦI TOÁN CH ỈNH HỢP, HOÁN VỊ, TỔ HỢP

I NHẮC LẠI KIẾN THỨC: 1.- Chỉnh hợp: *Định nghĩa: Cho một tập hợp gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của tập hợp ấy ( 1 k n) theo một thứ tự nhất định gọi là một chỉnh hợp chập k của n   phần tử ấy Số tất cả các chỉnh hợp chập k của n phần tử được kí hiệu

k

n A

* Công thức tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử khác nhau:

2.- Hoán vị: * Định nghĩa: Cho một tập hợp gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp n phần tử của tập hợp X theo một thứ tự nhất định gọi là một hoán vị của n phần tử ấy. Số tất cả các hoán vị của n phần tử được kí hiệu Pn * Công thức tính số hoán vị của n phần tử Pn = n! ( n! là n giai thừa) 3.- Tổ hợp: *Định nghĩa: Cho một tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi tập con của X gồm k phần tử trong n phần tử của tập hợp X ( 0 k n) gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử ấy   Số tất cả các tổ hợp chập k của n phần tử được kí hiệu

k

n C

* Công thức tính số tổ hợp chập k của n phần tử

II.- BẦI TOÁN MẪU

 Bài 1: Cho 5 chữ số: 1, 2, 3, 4, 5 a) có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi ba trong các chữ số trên b) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi cả 5 chữ số trên c)Có bao nhiêu cách chọn ra ba chữ số trong 5 chữ số trên Giải: a) Số tự nhiên có ba chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi ba trong các chữ số trên là chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử: = (5!): ( 5 – 3)! = 5.(5 - 1).(5 - 2) = 5 . 4 . 3 = 60 số

3

5 A b) Số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi cả 5 chữ số trên là hoán vị cua 5 phần tử (chỉnh hợp chập 5 của 5 phần tử): = 5.(5 - 1).(5 - 2).(5 - 3).(5 - 4) = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 số

5

5 A

ThuVienDeThi.com

2

c) cách chọn ra ba chữ số trong 5 chữ số trên là tổ hợp chập 3 của 5 phần tử:

= (5!): [(3!).(5 – 3)! ] = nhóm

 Bài 2: Cho 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Dùng 5 chữ số này: a) Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số trong đó không có chữ số nào lặp lại? Tính tổng các số lập được b) Lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau? c) Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó hai chữ số kề nhau phải khác nhau d) Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số, các chữ số khác nhau, trong đó có hai chữ số lẻ, hai chữ số chẵn Giải a) Số tự nhiên có 4 chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi 4 trong các chữ số trên là chỉnh hợp chập 4 của 5 phần tử: = 5.(5 - 1).(5 - 2).(5 - 3) = 5 . 4 . 3 . 2 = 120 số

4

5 A Trong mỗi hang (Nghìn, trăm, chục, đơn vị), mỗi chữ số có mặt: 120 : 5 = 24 lần Tổng các chữ số ở mỗi hang: (1 + 2 + 3 + 4 + 5). 24 = 15 . 24 = 360 Tổng các số được lập: 360 + 3600 + 36000 + 360000 = 399960 b) Là số chẵn, Chữ số tận cùng có 2 cách chọn (là 2 hoặc 4) bốn chữ số trước là hoán vị của của 4 chữ số còn lại và có P4 = 4! = 4 . 3 . 2 = 24 cách chọn  Tất cả có 24 . 2 = 48 cách chọn c) Các số phải lập có dạng , trong đó : a có 5 cách chọn, b có 4 cách chọn abcde (khác a), c có 4 cách chọn (khác b), d có 4 cách chọn (khác c), e có 4 cách chọn (khác d)  Tất cả có: 5 . 4 . 4 . 4 . 4 = 1280 số d) Chọn 2 trong 2 chữ số chẵn, có 1 cách chọn chọn 2 trong 3 chữ số lẻ, có 3 cách chọn. Các chữ số có thể hoán vị, do đó có: 1 . 3 . 4! =1 . 3 . 4 . 3 . 2 = 72 số

 Bài 3: Cho xAy 1800. Trên Ax lấy 6 điểm khác A, trên Ay lấy 5 điểm khác A. trong 12 điểm nói trên (kể cả điểm A), hai điểm nào củng được nối với nhau bởi một đoạn thẳng. Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là 3 trong 12 điểm ấy ?

5.(5 - 1).(5 - 2) 5 . 4 . 3 60 10 3! 3.(3 - 1)(3 - 2) 6    3

5 C

ThuVienDeThi.com