Tổng hợp Giải tích 11

Mục lục

I Hàm số 3 1 Giới hạn hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1 Giới hạn hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Giới hạn một phía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Hàm sốsơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Giới hạn vô cùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.6 Một sốđịnh lý mởrộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.7 Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.8 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Hàm sốliên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1 Liên tục điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Liên tục một phía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Liên tục trên một khoảng, đoạn . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.5 Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 Đạo hàm của hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1 Giá trịtức thời . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2 Đạo hàm tại một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3 Đạo hàm một phía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.4 Đạo hàm trên một khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.5 Một sốtính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.6 Ý nghĩa của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.7 Các phương pháp tính đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.8 Các bài toán vềtiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.9 Ứng dụng đạo hàm đểchứng minh các hằng đẳng thức . 39 3.10 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4 Vi phân của hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.1 Khái niệm và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1

Lê Lan Chi

ThuVienDeThi.com

Hàm số

1 Giới hạn hàm số

1.1 Giới hạn hữu hạn

Định nghĩa 1. Hàm sốf (x) xác định trong khoảng (a,b) có giới hạn hữu hạn khi x tiến dần tới x0 (hay tại x0). Nếu mọi dãy (xn) thuộc khoảng (a,b) mà limxn = x0 ta đều có lim f (xn) = L ∈R. Khi đó ta viết

lim x→x0 f (x) = L

Định nghĩa 2. Hàm sốf (x) xác định trong khoảng (a,+∞) có giới hạn hữu khi x tiến dần đến +∞(hay tại +∞). Nếu mọi dãy (xn) thuộc khoảng (a,+∞) mà limxn = +∞ta đều có lim f (xn) = L ∈R. Khi đó ta viết

lim x→+∞f (x) = L

Định nghĩa 3. Hàm sốf (x) xác định trong khoảng (a,+∞) có giới hạn hữu khi x tiến dần đến −∞(hay tại −∞). Nếu mọi dãy (xn) thuộc khoảng (a,−∞) mà limxn = −∞ta đều có lim f (xn) = L ∈R. Khi đó ta viết

lim x→−∞f (x) = L

Chú ý 1.

• Ta nói hàm có giới hạn thì hiểu là hàm có giới hạn hữu hạn

• Hàm không có giới hạn thì hàm đó có thểcó giới hạn vô cùng (ta sẽnhắc tới nó ởphần sau) hoặc giới hạn không xác định.

Ví dụ: lim x→0 1 x2 = +∞,

lim x→0

µ sin 1

x2

¶ = KXĐ. Vì hàm lấy giới hạn có giá trịtuần hoàn

3

Lê Lan Chi

ThuVienDeThi.com