Một số bài tập về bất đẳng thức và tìm cực trị Lớp 9

MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ Bài 1

1) Cho A>0; B>0. Chứng minh rằng

2) Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: B =

Giải

1) Do (A – B)2 ≥ 0 nên với A >0; B >0

Bất đẳng thức xẩy ra dấu “=” khi và chỉ khi A = B 2) Từ bất đẳng thức luôn đúng suy ra :

vì x+y+z =1 nên suy ra . Bất đẳng thức xẩy ra “=” khi và chỉ khi x = y = z = 1/3

- Ta có với A >0; B >0.

Áp dụng các bất đẳng thức trên ta có :

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 14 khi x = y = z = 1/3

Bài 2: 1. Chứng minh      

2 2 2 a b a b x y x y 2. Chứng minh       2 2 2 1 1 1 9 2 2 2 a bc b ac c ab Giải

 

 

        

    

      

   

 

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2

( ) 1)

( ) ( )

2

2 0

(ay - bx) 0

a b a b a y b x a b x y x y xy x y

a y b x x y xy a b

a xy a y b x b xy a xy abxy b xy

a y b x abxy

2) Áp dụng kết quả phần 1:

 

 

2

2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2

1 1 1 (1 1) 1 2 2 2 2 2 2

1 1 1 9 9 2 2 2

a bc b ac c ab a bc b ac c ab

a bc b ac c ab a b c

           

          

( do a + b + c  1)

Dấu “=” xảy ra a = b = c = 1

3 Bài 3

1.Cho x>1. Chứng minh 2 1 x x

 

1 1 4 A B A B   

2 2 2 3 2 xy yz zx x y z     

 

2 1 1 4 4 A B AB A B A B      

      2 2 2 0 x y y z z x           2 3 x y z xy yz zx     

1 3 xy yz xz    1 1 4 A B A B   

   

2 2 2 2 1 1 4 4 2 xy yz xz x y z x y z         

2 2 2

2 2 2

3 2

4 2 2 2.3 2.4 14 2( ) 2( )

xy yz zx x y z

xy yz zx xy yz zx x y z

      

           

ThuVienDeThi.com

2. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E =

Giải

1. <=> (luôn đúng với x>1)=>

Dấu bằng xảy ra khi x = 2.

2. Theo bất đẳng thức Côsi ta có : E =

Áp dụng câu a ta có => E . Vậy GTNN của E là 8 khi a = b = 2

Bài 4: Cho a, b, c > 0. Chứng minh:

a) b)

Giải a) Vì a,b,c >0 nên áp dụng phép biến đổi tương đương và rút gọn, được

Áp dụng bất đẳng thức Côssi ta chứng minh được BĐT trên

Dấu = xảy ra khi a = b = c

b) Áp dụng bất đẳng thức câu a)

Tương tự có:

Cộng ba bất đẳng thức trên vế với vế:



Bài 5: a) Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: 3(b2 + 2a2)  (b + 2a)2

b) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng:

.

Giải

1; 1 a b  

2 2

1 1 a b b a   

2 1 x x

   

2 2 1 1 1 0 x x x     2 1 x x

 

2 2 2 2 2. . 2. . 1 1 1 1 1 1 a b a b a b b a b a a b         

2; 2 1 1 a b a b    

8 

1 1 1 9 a b c a b c      3 2 3 2 3 2 6 ab bc ca a b c a b c b c a c a b

          

  1 1 1 9 1 1 1 9

3 9

6

a b c a b c a b c a b c

a b a b a b b a b a b a

                                                                   

2 . 2 x y x y y x y x   

9 1 1 1 3 2 9 ( ) ( ) 2 9 2

1 3 2 9 2

ab ab ab a b c a c b c b a c b c b

ab ab ab a a b c a c b c

                  

             

1 3 2 9 2 bc bc bc b b c a a b a c               1 3 2 9 2 ac ac ac c c a b b c a c              

1 3 2 3 2 3 2 9 2 ab bc ca ac bc ab ac bc ab a b c a b c b c a c a b a b b c c a                          

  1 3 3 2 3 2 3 2 9 2 ab bc ca a b c a b c b c a c a b            

3 2 3 2 3 2 6 ab bc ca a b c a b c b c a c a b

          

2 2 2 2 2 2 b 2a c 2b a 2c 3 ab bc ca      

ThuVienDeThi.com